És el paradigma que es posa per a la conservació de l'energia (vegeu la figura 1). Si no hi ha fricció, l'energia es conserva i podem plantejar

on és el desplaçament del bloc en la direcció del pla comptat a partir d'una referència. La velocitat a la qual va el bloc en funció de , la podem trobar sabent que l'energia (1) es conserva:

Ara l'esfera rodola. Aquesta és una forma de moure's prou interessant i molt comuna. Resulta que l'esfera interacciona amb el terra del pla no només amb la normal sinó també amb la força de fricció. Tot i això, la força de fricció no treballa mai. La força de fricció sobre l'esfera està aplicada en cada instant al punt de contacte amb el pla. Com que aquest punt no llisca, el desplaçament en el moment de tocar el terra és nul. Cada cop que un punt de l'esfera toca el terra té, en aquell mateix moment, una velocitat nul•la. De resultes, encara que, necessàriament, hi sigui present la força de fricció, el sistema és conservatiu. És a dir, "no dissipa energia en forma de... calor!" . Si fem l'experiència, veurem que els resultats obtinguts amb el bloc no ens serveixen. Si no vigilem, haurem de dir que l'energia s'ha dissipat. Sí que podem dir que l'energia potencial gravitatòria no es converteix enterament en energia cinètica de translació.

Un tractament complet del problema és tenir en compte l'energia cinètica de rotació.

La condició de rodolar l'escrivim , onés el radi de l'esfera. L'energia tindrà també el terme d'energia cinètica de rotació. L'esfera no cal que sigui homogènia, però sí que demanarem que tingui simetria esfèrica, de manera que el centre de masses sigui al centre de l'esfera.

Per simplificar, tractarem una closca esfèrica de radi , sense massa, que té fixada, a la meitat d'un radi, una massa puntual . Ara, la condició de rodolar l'explicitarem una mica, més escrivint la relació que hi ha entre l'espai recorregut i l'angle girat respecte de la normal, . Derivant, tindrem , on, compte, és la velocitat del centre de l'esfera, que és la que percebem més fàcilment com a observadors.

El vector posició i la velocitat de la massa són

L'energia serà

La velocitat és ara

A la figura 5 tenim un esquema del xoc d'una bola amb un terra. Inicialment, la bola pot tenir un moviment de rotació. Si el terra és llis, al final tindrà exactament la mateixa rotació, de manera que la rotació de la bola serà irrellevant. Que el terra sigui llis també vol dir que es conserva la quantitat de moviment horitzontal:

Quant a l'energia, com que la bola és completament rígida i el xoc és llis, només s'intercanvia l'energia cinètica de translació:

Combinant (10) i (11) obtenim

A la figura 6 tenim el mateix tipus de xoc que a l’apartat anterior, però ara considerem que la fricció amb el terra és suficient perquè en cap moment llisqui. És a dir, es tracta també d'un xoc conservatiu, si tenim en compte també l'energia de rotació en el balanç energètic.
La condició que "durant" l'impacte la bola no llisca es pot escriure com una condició de rodolament de la component horitzontal de la velocitat final i la velocitat angular final:

La conservació de l'energia serà

més gran que la inicial. Les energies de translació i rotació inicial han anat a parar a energia de translació final. Caldrà que el tennista o el jugador de ping-pong valori si aquesta deixada li surt o no a compte.

Translació i vibració: xoc elàstic d’un cos no rígid amb un terra dur

A la figura 7 tenim una pilota elàstica que, deixada anar verticalment, xoca (bota) amb el terra i no aconsegueix l'alçada inicial. En aquest cas, no hi ha rotació inicial ni és possible un intercanvi d'energia de translació amb una de rotació. El xoc és completament elàstic, però sembla que hi hagi dissipació. En aquest cas, una part de l'energia de translació s'ha transformat en energia de vibració, que, al cap d'una estona, sí que es dissipa, però no com a conseqüència del xoc.

Per mirar d'explicar el que passa, fem un model de cos no rígid com el de la figura 8. En lloc d'una pilota tenim dues masses iguals enganxades amb una molla sense massa. Durant el procés de xoc prescindirem de la gravetat. De fet, podem prescindir de la gravetat i pensar que llencem el cos contra el terra a una certa velocitat de translació sense que hi hagi vibració. El que volem analitzar és com canvia aquesta velocitat com a conseqüència del xoc.

A la figura 9 tenim el cos just abans de xocar amb el terra. El punt vermell és el centre de masses i, si el cos no vibra, la velocitat d'aquest és la de qualsevol altra part del cos. Els dos blocs van a la mateixa velocitat, com es veu a la figura 10.

A la figura 11 el cos ja ha xocat amb el terra. En tractar-se d'un xoc elàstic i dur, la velocitat després del xoc és, pel que fa al mòdul, la mateixa que abans del xoc, però de sentit contrari. A continuació, la molla es comprimeix i les velocitats disminueixen, però sempre amb el mateix mòdul. En arribar al final de la compressió, suposant que la molla és prou dura perquè els dos blocs no es toquin, començarà l’expansió de la molla fins que, quan els dos blocs arribin a tenir el mateix mòdul de velocitat que tenien en iniciar la compressió, el bloc inferior torna a xocar amb el terra (vegeu la figura 12).

A la figura 13 veiem com el bloc inferior xoca per segona vegada amb el terra i adquireix una velocitat igual que el bloc superior, amb la mateixa direcció i el mateix sentit. Així, finalment, el conjunt del cos surt amb una velocitat igual a la velocitat a què ha arribat. Compareu la figura 9 i la 14. El procés ha requerit un parell de xocs i s’hi ha hagut d’esmerçar un cert temps, però el resultat és el mateix que si el cos fos totalment rígid. No s'ha produït cap intercanvi d'energia entre l’energia de translació i la de vibració.
Abans de veure com ha de ser un xoc per tal que s'intercanviï energia de translació a energia de vibració, podem utilitzar el model tal com el tenim ara per fer una experiència que no és de xoc però que aconsegueix l'efecte que ens interessa.
A la figura 15 veiem el nostre model, en repòs i pressionat contra el terra de manera que la molla queda comprimida i acumula una certa energia inicial . En aquest moment, el deixem anar. La molla es va descomprimint. El bloc guanya velocitat i el resta quiet, per causa que rep una força externa, la normal del terra, que impedeix que es mogui avall. Notem que aquesta força no treballa, no dissipa energia. Just quan acaba la descompressió de la molla, la situació és la de la figura 16.

Tota l'energia de la molla se l'emporta el cos en forma d'energia cinètica:. Això no vol dir que el conjunt, el centre de masses, vagi a aquesta velocitat. Podem calcular en aquest instant la quantitat de moviment total i la velocitat del centre de masses. Recordem que el bloc encara està aturat. Com a conseqüència aquesta velocitat serà . Com que ara el conjunt del cos ja no rep cap força externa (recordem que, per simplificar, hem eliminat la gravetat), el cos continuarà amb aquesta velocitat constant (figura 17).

Ara, de l'anàlisi energètica tenim: l'energia de translació que té el cos (el conjunti ) és , que només és la meitat de l'energia inicial de la molla en comprimir-la. Així doncs, el cos també vibrarà, amb una amplitud més petita en comparació amb la inicial, concretament .

Tornem ara als xocs. Mirem de trobar la manera d'intercanviar energia de translació i vibració mitjançant un xoc. A la figura 18 veiem el model de cos no rígid anterior però lleugerament complicat amb l'afegitó d'una segona molla que farà que l'impacte amb el terra no sigui instantani. Com abans, el bloc inferior arriba al terra amb la velocitat , la mateixa que té el bloc superior (figura 19). Sempre suposarem que les molles són de tal manera que estan dins el seu límit elàstic.

A la figura 20 ja s'ha produït el xoc. Com que no ha estat instantani (la duració dependrà de la duresa de la molla inferior), el bloc superior ha tingut temps de baixar una mica, comprimir la molla i disminuir la velocitat. Els dos blocs han canviat el mòdul de la velocitat. El resultat és que, després del xoc, el conjunt del cos es trasllada a una velocitat inferior a la d'arribada. L'energia cinètica inicial s'ha transformat en energia cinètica final de translació i energia elàstica de la molla: