Introducció

En aquest article descriurem una activitat que ens pot ajudar a comprendre el fenomen de la inducció electromagnètica, utilitzant materials d’ús habitual al laboratori. Es pot fer servir en cursos de segon cicle d’ESO de forma qualitativa, i al batxillerat fent els càlculs que es proposen. Fonamentalment, es tracta de fer lliscar un imant en forma d’anell per una vareta de vidre que està en posició vertical i que en al seu punt mig conté una bobina. Depenent de l’altura de sortida de l’imant tindrem diferents velocitats i diferents voltatges induïts. També podem experimentar altres variacions, com fer lliscar dos imants iguals units o fer la prova amb un potent imant de neodimi, o també podem canviar la polaritat dels imants, canviant-ne l'orientació, i observar si es produeixen canvis en el voltatge induït. L’article conté també una part més teòrica, dirigida al professorat, que intenta explicar la complexitat del fenomen.

Guia del professorat

El fenomen

La figura 1 mostra com deixem caure lliurement un magnet (imant). En apropar-se a una bobina, situada més avall, a una distància vertical h, provoca un flux de camp magnètic variable. A causa de la llei de Faraday , (1)     apareix a la bobina una força electromotriu induïda, , i com a conseqüència, si tanquem la bobina apareixerà un corrent d'intensitat I. Si la bobina té una resistència Rb i la tanquem amb una resistència Rr , amb un oscil·loscopi podem mesurar la diferència de potencial als extrems de la resistència Rr , Vr(t). Tindrem (2)

Així, i V_r són proporcionals. La forma de V_r a l'oscil·loscopi serà la mateixa que la de.

té una forma genèrica com la de la figura 2. va creixent a mesura que s'apropa el magnet. Arriba a un valor màxim i en travessar la bobina passa per un valor nul. En allunyar-se obtenim un patró semblant amb valors negatius.

L'experiència la fem amb una bobina amb un nombre d'espires que no és gaire elevat i afegint-hi una resistència R_r relativament gran, de manera que puguem negligir els efectes d'autoinducció i les pèrdues per l'efecte Joule de la bobina. En aquestes condicions i segons el model teòric,es dóna quan el magnet està a una distància de la bobina  ,  amb una velocitat

(3)

L'expressió (3) és conseqüència de la conservació de l'energia del magnet mentre cau a causa del fet que podem menysprear la quantitat d'energia gravitatòria que ha passat a la bobina en forma d'energia magnètica i, per tant, també les pèrdues per l'efecte Joule. En cas contrari, la conservació de l'energia caldria aplicar-la al sistema sencer. Noteu també que cal anar amb compte amb h. L'altura que hem de fer servir és hmax , que és la que té l'imant quan el deixem anar respecte de , punt en el qual detectem. A la secció Un model teòric desenvolupem un model per a aquesta experiència en el qual veiem que el valor del màxim resulta ser i, per tant, . La constant de proporcionalitat és (4)

on N és el nombre d'espires, R és el radi i m el moment magnètic de l'imant, la quantitat que el caracteritza com a tal. H està relacionada amb el gruix de la bobina. Per simplificar hem considerat dos possibles models de bobina:

Bob-0) bobina gruix=0

Bob-2R) bobina gruix=2R

Mesures de permeten fer una recta. Trobant el pendent P d'aquesta recta i utilitzant (4) podem trobar m.

El material

A ccontinuació us donem les dades del material utilitzat. L'experiència també funcionarà utilitzant imants, bobines i resistències semblants a les que descrivim aquí. L'element més delicat potser és l'oscil·loscopi.

Noteu que la resistència i la bobina compleixen la relació (24), que governa la importància relativa dels efectes magnètics secundaris (vegeu la secció Un model teòric més avall en aquest mateix article):

(5)     Més avall donem les característiques del material utilitzat i els càlculs més específics. Aquí avancem les mesures i la gràfica obtinguda. Hem utilitzat (2) per passar de Vrmax mesurat per l'oscil·loscopi a i (5) per tractar les altures (utilitzant el valor de corresponent a bobina gruixuda ). També tabulem la velocitat corresponent a cada altura. La taula que en resulta és: hmes (m) (V) (m/s) 0,1 0,35 0,68 1,50 0,2 0,47 0,88 2,05 0,3 0,57 1,06 2,48 0,4 0,65 1,20 2,85 0,5 0,72 1,34 3,17 0,6 0,79 1,46 3,47

Representació gràfica Amb aquestes dades podem fer la representació gràfica . Si es compleixen les previsions de la teoria ens hauria de donar una recta. En el nostre cas hem obtingut la representació gràfica mostrada a la figura 7, i el coeficient de regressió és 0,9997. Hem descartat el punt mesurat hmes= 0,1 perquè és un valor massa pròxim a les dimensions de la bobina i de l'imant i podria ser el més erroni. El terme independent no nul representa un error al voltant d'un 2 % en els valors de . El valor residual corresponent a l'altura nul·la de =0,0462 només expressa les dificultats teòriques i experimentals en tractar la geometria tenint en compte que un petit error en les distàncies fa variar molt el valor del màxim.Tot i amb això, i tenint en compte que el nombre de punts no és gaire gran, sembla que no hi ha errors experimentals greus, i les suposicions que hem fet són força bones.

Activitats al voltant de l'experiència

Aquesta activitat ésta pensada per fer-la al laboratori. Així, l'alumnat trobarà el material preparat per fer el muntage o el muntatge ja fet. El professorat podrà adaptar les activitats al nivell de l'alumnat segons els punts seqüents:

1) Ens podem quedar amb la part fenomenològica, observant el fenomen i discutint les gràfiques de l'oscil·loscopi però sense arribar a prendre dades. En aquest nivell es pot parlar qualitativament de les energies cinètica, gravitatòria i magnètica (i també de pèrdues de calor per l'efecte Joule i pel fregament) i com d'unes es passa a les altres.

2)Acceptant que l'energia bescanviada a la bobina és molt petita comparada amb la gravitatòria total, podem prendre dades i observar la linealitat i . Si ens quedem aquí, qualitativament, podem treballar amb h_mes enlloc de h_max. A la Guia de l'alumnat ho fem així. El tractament més exhaustiu l'hem fet tant per poder continuar com perquè el professorat disposi d'una explicació raonable del terme independent (no nul) en la relació lineal. Qualitativament es pot obviar, perquè sabem que prové del problema de la localització del màxim.

3)Podem fer el càlcul del pendent P de la recta i utilitzant (4) trobar m.

4) Amb el valor de m , per a alguna h , podem calcular l'energia magnètica de la bobina i corroborar que és molt més petita que la gravitatòria.

(6) (7)

on és la resistència de la bobina i és la massa de l'imant utlitzat

5) Per acabar, podem fer servir l'expressió del moment magnètic d'una bobina, , per trobar quina intensitat hauria de passar per la bobina utilitzada en l'experiència per tal que tingués el mateix moment magnètic que l'imant.

A la Guia de l'alumnat que proposem ens quedarem al punt 2, ja que la resta de punts poden quedar fora de l'àmbit del batxillertat i a més són només de càlcul. A continuació donem els resultats que s'obtenen amb el material utilitzat.

Dades i resultats

Guia de l'alumnat

Introducció

En aquesta pràctica fareu un experiment que us pot ajudar a comprendre el fenomen de la inducció electromagnètica, utilitzant materials d'ús habitual al laboratori. Fonamentalment, es tracta de fer lliscar un imant en forma d'anell per una vareta de vidre que està en posició vertical i que al seu punt mig conté una bobina. Depenent de l'altura de sortida de l'imant tindrem diferents velocitats i diferents voltatges induïts.

Fonament teòric

Fareu una experiència relacionada amb la llei de Faraday-Lenz. Aquesta llei ens diu que el voltatge induït en una bobina de material conductor és:

És a dir, la variació del flux magnètic respecte del temps dóna el voltatge induït. El signe menys indica que el voltatge induït s'oposa a la causa que el produeix (llei de Lenz). El flux magnètic a través de la bobina és igual al producte del camp per la superfície del conjunt d'espires NS. Per tant, quan derivem tenim:

El primer terme és igual a zero, ja que la superfície és la d'una bobina en repòs i per tant és constant. Si tenim en compte que l'imant es mou amb una trajectòria rectilínia x(t) tindrem B(x(t)) , i aplicant la regla de la cadena

És a dir, el voltatge induït és, amb la posició fixada , proporcional a la velocitat. Si x és la posició de l'imant respecte de la bobina, hi haurà una posició per a la qual el voltatge induït arriba al seu valor màxim, . Aquesta posició és pràcticament independent de la velocitat o altura des de la que es deixa anar l'imant. Així, podem dir que el voltatge màxim que es troba quan l'imant passa per una posició determinada és una constant per la velocitat que té l'imant en aquesta posició:

serà molt aproximadament el valor que tindria en arribar a la bobina si la caiguda fos lliure, és a dir, sense bobina. Si h és l'altura respecte de la bobina des de la qual deixem anar l'imant , .

Procediment experimental

Fixeu el tub de vidre amb un suport i amb l'ajuda de dues pinces de manera que quedi en posició perfectament vertical, marqueu amb un retolador altures de 10 cm a partir del nivell de la bobina. La bobina feu-la aguantar amb un altre suport i una pinça, independents dels primers, i al final del tub de vidre poseu-hi un tros de cordó de tela que esmorteirà el cop i evitarà que es trenqui l'imant.
Connecteu els extrems de la bobina a una resistència R_r i, en paral·lel, a un oscil·loscopi. L'oscil·loscopi mesurarà V_r . Si la resistència de la bobina és R_b, podem trobar aplicant la llei d'Ohm segons

(8)

Deixeu anar l'imant de les diferents altures que heu marcat i llegiu el voltatge màxim V_rmax , i amb (8) trobeu.

Dades

Amb els valors de h podeu trobar i completar la taula següent:

h (m)	(m1/2)	Vrmax (V)	(V)	(m/s)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6

Representació gràfica

Amb aquestes dades feu la representació gràfica i .

Conclusions i qüestions

A partir de les dades i dels gràfics obtinguts responeu a les qüestions següents:

1) Quina relació de dependència es pot deduir de la gràfica entre velocitat,, i . Es compleixen les previsions fetes a l'apartat de fonaments teòrics?

2) Quina relació de dependència es pot deduir de la gràfica entre i ? Es compleixen les previsons fetes a l'apartat Fonament teòric?

3) Si posem dos imants junts, què creus que passarà si doblem el camp magnètic de l'imant?.

4) Què creus que passarà si girem l'imant, canviant la polaritat nord-sud?.

5) Què creus que passaria si augmentéssim la massa de l'imant amb un material diamagnètic?

6) A partir dels resultats, calcula quina velocitat hauria d'assolir l'imant en passar per la bobina per produir un voltatge de 106 V.

7) A partir dels resultats, calcula quantes voltes hauria de tenir la bobina per produir un voltatge màxim de 106 V.

8) Què et sembla que representarien les gràfiques que ens dóna l'oscil·loscopi voltatge/temps si calculéssim l'àrea o les integréssim?.

9) Explica com interpretes els canvis de pendent que podem observar en les imatges obtingudes amb l'oscil·loscopi.

10) Quan a la bobina s'hi indueix el corrent, augmenta l'energia. D'on creus que prové aquesta energia?

11) A què creus que és degut que la velocitat de l'imant no sigui, en realitat, exactament igual a la que correspon segons la caiguda lliure?

12) El sentit del corrent induït té res a veure amb la conservació de l'energia?

Un model teòric

A continuació construïm un model teòric del fenomen que tractem. Evidentment, el nivell supera el de secundària i no es tracta ni de bon tros que l'alumnat (de secundària) llegeixi aquest apartat. Pot servir al professorat per conèixer amb més profunditat el fenomen i també per una possible adaptació de l'activitat a nivell universitari. 

El model

Un magnet de petites dimensions i de moment magnètic es deixa caure provocant una variació de flux en una bobina prima de radi R situada a una distància vertical h. A la figura podem veure el magnet durant la caiguda, a una distància x respecte de la bobina situada a x=0 . El magnet crea un camp magnètic que, per a punts relativament llunyans (respecte de les seves dimensions), sabem que té un potencial vector (9)     El camp serà (10)

Si la bobina és prima (les espires estan totes al mateix lloc), el flux que aquest camp hi provoca és

(11)

on N és el nombre d'espires de la bobina i la superfície encerclada per una espira.

Utilitzant el teorema de Stokes tenim

(12)

on C és el contorn de la bobina. Noteu que d'aquesta manera podem calcular el flux utilitzant (12), ja que els punts del contorn C estaran sempre lluny del magnet.

Substituint (9) a (12) obtenim

on hem utilitzat que r és constant al llarg de C i que és paral·lel a . Podem posar r en funció de x per obtenir

(13)

La força electromotriu induïda a la bobina és, segons la llei de Faraday:

(XX)     A la figura podem veure de forma qualitativa el perfil de en funció de la posició x.

El valor màxim d'aquesta vindrà donat per

(14)

on són, respectivament, la posició i la velocitat del magnet quan es dóna la variació màxima de flux. Notem que si és independent de la velocitat del magnet (o altura des de la qual el tirem) i només depèn de la geometria (de R), llavors podem dir que la FEM màxima és proporcional a la velocitat. També hem de fer notar que aquesta velocitat no és la que correspon a una altura h respecte de la posició de la bobina (és a dir x = 0 ) sinó a una altura.

Així doncs, continuem per mirar d'esbrinar aquestes qüestions. Tornem a derivar el flux i igualem a zero

(15)

Fixem-nos que si el magnet es mou amb una velocitat constant (a = 0 ) llavors el màxim està situat a i és independent de la velocitat (o altura h). Però el magnet cau, segons, és a dir, i. Fent la ssubstitució a (15) , tenim

(16)

Així, si h és molt més gran que R podem seguir mantenint que i que . A més, en aquest cas tindrem ( ), i així

(17)

Efectes secundaris

Tenim tres possibles efectes no contemplats d'entrada: a) efectes de fregament sec i aerodinàmic i b) efectes electromagnètics de segon ordre i c) el gruix de la bobina

a) Els possibles efectes de fregament aerodinàmic es veuran afavorits per una h gran i tendin a fer que la velocitat de caiguda arribi a la velocitat límit i sigui constant. Encara es compliria i . Caldria però esbrinar aquesta velocitat. No tindrem en compte aquests efectes.

b) El magnet indueix corrents a l'espira i aquesta genera un camp magnètic de sentit oposat. La situació és l'encarament entre dos pols magnètics del mateix signe. Així doncs, la interacció entre magnet i espira és de repulsió. A distàncies relativament grans, mentre el magnet està caient, aquesta repulsió és molt feble i no té cap importància. Quan passa per la posició per la qual tenim aquesta força podria ser important i provocar una disminució dei consegüenment de. Encara es compliria, però caldrà esbrinar aquesta velocitat. Dit en altres paraules: negligint l'efecte Joule de les resistències, el sistema conserva l'energia. Hi ha un transvasament d'energia cap a la bobina, no tota l'energia gravitatòria es converteix en cinètica. Les pèrdues per efecte Joule compliquen més aquesta situació. Vegeu la secció L'efecte magnètic secundari una mica més avall.

c) La bobina té un cert gruix, , que no hem tingut en compte perquè complica mot les coses i no introdueix res de nou en l'aspecte conceptual. En el cas general, si a és la relació entre el gruix de la bobina i el seu diàmetre, , s'obté . Especificarem aquests resultats per al cas de bobina prima (a = 0), i de bobina gruixda (a = 1).

Bobina prima (18)     (19)     Bobina gruixuda (20)     (21)

L'efecte magnètic secundari

Podem fer una avaluació aproximada dels efectes magnètics secundaris analitzant el terme de correcció del flux causat per l'autoinducció L de la bobina, , que dóna lloc a un terme de correcció en la força electromotriu, . Si la resistència total és, llavors , i així tenim

(22)

Si prenem l'interval de temps en què hi ha l'augment de FEM de 0 fins a , podem aproximar , on hem pres com una mesura del tram de caiguda en què hi ha el creixement efectiu de fem de 0 fins a . Ara, aproximant el coeficient d'autoinducció de la bobina pel d'una bobina llarga, d'una llargada , , obtenim finalment la importància relativa del terme d'autoinducció (22) explicitant els paràmetres rellevants del nostre cas

(23)

Finalment com que es tracta d'un càlcul aproximat, podem substituir pel valor corresponent a bobina prima. Així l'efecte magnètic secundari serà petit sempre que

(24)

Podem controlar aquest valor amb la resistència R_r.

En el diseny de l'experiència caldrà controlar aquests efectes, que en general són febles.

Solucions a les qüestions

1) La relació és de proporcionalitat o de linealitat.

2)La relació és de proporcionalitat o de linealitat.

3) El valor del voltatge induït serà més gran però no arribarà a ser el doble.

4) La gràfica que ens surt amb l’oscil·loscopi seria semblant, però els signes de les pendents serien just els contraris en cada zona.

5) La proporció entre l’energia potencial gravitatòria i la magnètica seria encara més gran i les suposicions que hem fet encara serien millors.

6) Seria 249,3 m/s

7) Si llancem des de 0,6 m, hauria de tenir 24043 voltes..

8) Serien una eina bàsica per calcular la potència i l’energia dissipada per la bobina, necessitem la resistència de la bobina que en el nostre cas és , i la resistència que tanca el circuit, que és .

9) Podem distingir tres zones al gràfic voltatge /temps. La primera correspon a la fase d’apropament, la segona al canvi de polaritat de l’imant quan travessa la bobina, i la darrera a la fase d’allunyament.

10) Prové de l’energia potencial gravitatòria que va perdent l’imant.

11) A causa de les pèrdues per fregament i de l’energia que s’indueix a la bobina. Les pèrdues per fregament no es recuperen com a cinètica, però les que són causades per la bobina es recuperarien totalment quan l'imant sallunyés per sota si la bobina no tingués resistència i no hi posessim cap resistència més. Amb resistències, la recuperació és parcial.

12) Si el corrent induït fos a l’inrevés, acceleraria l’imant enlloc de frenar-lo en la caiguda i tindríem una font inesgotable d’energia.

Sumari

3/9

Inici	Com podeu col·laborar?	Subscripció
ISSN: 1988-7930    Adreça a la xarxa: www.RRFisica.cat    Adreça electrònica: redaccio@rrfisica.cat  difusio@rrfisica.cat Comitè de redacció : Josep Ametlla, Octavi Casellas, Xavier Jaén, Gemma Montanyà, Cristina Periago, Octavi Plana, Jaume Pont i Ramon Sala. Treballem conjuntament : Societat Catalana de Física, Associació de Professores i Professors de Física i Química de Catalunya,XTEC, Universitat Politècnica de Catalunya, Universitat de Barcelona
Programació web: Xavier Jaén i Daniel Zaragoza. Correcció lingüística: Serveis Linguïstics de la Universitat Politècnica de Catalunya.		Aquesta obra està subjecta a una Llicència de Creative Commons
Recursos de Física col·labora amb la baldufa i també amb ciències Revista del Professorat de Ciències de Primària i Secundària (Edita: CRECIM-UAB)