núm 6 
Tardor del 2010
Societat Catalana de Física

Inici

Sumari      4/10 


Un satèl·lit paradoxal
Tavi Casellas
El moviment de satèl·lits en òrbita és una de les aplicacions que s'estudia a partir de la llei de la gravitació universal i que més atrau l'atenció de l'alumnat, segurament a causa de l'actualitat de la temàtica i del seu caràcter innovador, tot i que el primer satèl·lit artificial (Sputnik 1) es va llançar a l'espai el 4 d'octubre de 1957, ja fa més de 50 anys!

Guia per al professorat

Introducció


És fàcil arribar a calcular la velocitat que ha de mantenir un satèl·lit (massa m) en òrbita circular (radi r) al voltant de la Terra (massa M). Apliquem la segona llei de Newton i tenim en compte que, sobre el satèl·lit, només hi actua la força gravitatòria, que és la responsable de la seva acceleració centrípeta:

L'apliquem només en la component centrípeta

és a dir,



i després aïllem la velocitat

(1)



També és relativament senzill realitzar el càlcul de l'energia d'un satèl·lit en òrbita circular (de radi r). Cal sumar l'energia cinètica i la potencial gravitatòria:


i substituint la velocitat per l'expressió (1) obtenim:



Paradoxa

És possible que alguna vegada ens haguem fet la pregunta, o potser ens l'ha fet aquell alumne espavilat que sol fer preguntes “intel·ligents”:

Si un satèl·lit que està en òrbita engega els coets propulsors, tot faria pensar que, en guanyar velocitat i, per tant, augmentar l'energia, s'hauria d'allunyar de la Terra i, per tant, hauria de passar a òrbites amb radis més grans. Però, paradoxalment, comprovem que justament les òrbites més allunyades de la Terra són les que tenen velocitats més petites (segons l'expressió (1)).

Així doncs tenim una paradoxa que cal solucionar!

Solució


La solució és molt senzilla i podem explicar-la a l'alumnat de batxillerat, tot i que els detalls dels càlculs numèrics (no gaire complicats) queden fora del seu currículum. Vegem-ho.
Les fórmules que acabem de calcular i que solem aplicar en tots els exercicis corresponen només a òrbites circulars malgrat que sabem que la primera llei de Kepler diu que, en general, les òrbites dels satèl·lits són el·líptiques. Així doncs la solució a la nostra paradoxa és senzillament que el satèl·lit que orbita amb velocitat vA i que guanya velocitat (fins al valor veA > vA) abandona l'òrbita circular i passar a orbitar en una el·lipse al voltant de la Terra (Figura 1).

Segons la segona llei de Kepler (Viquipèdia: http://ca.wikipedia.org/wiki/Lleis_de_Kepler) , la velocitat d'un planeta varia segons el punt de la trajectòria al voltant del Sol:


El radi vector que uneix el planeta amb el Sol escombra àrees iguals en temps iguals. Per tant, el planeta es desplaça més ràpidament quan es troba en el periheli (punt de l'òrbita situat a la mínima distància del Sol) (veA) que quan és en l'afeli (punt de l'òrbita situat a la màxima distància del Sol) (veB).

De manera que, tal com observem a la figura 2, veA > veB.
Així doncs perquè un satèl·lit situat en una òrbita circular (radi rA) es pugui situar en una òrbita circular amb un radi més gran (rB) cal que recorri una òrbita de transferència el·líptica amb una velocitat màxima (veA ) quan es troba a una distància rA de la Terra i mínima (veB) quan està a una distància rB.
El procés serà, doncs, el següent: el satèl·lit orbita circularment (radi rA) amb una velocitat vA i cal que acceleri fins a obtenir una velocitat superior veA que correspon a la velocitat del perigeu (punt de l'òrbita situat a mínima distància de la Terra) de l'òrbita el·líptica de transferència. Mentre recorre la trajectòria el·líptica va disminuint la velocitat fins a arribar, just en l'apogeu (punt de l'òrbita situat a la màxima distància), al valor veB. Aquesta disminució de velocitat es pot argumentar de forma senzilla, tenint en compte que al llarg de la trajectòria, de A fins a B, el satèl·lit puja (s'allunya de la Terra). Just en aquest moment (apogeu) ha de tornar a accelerar per augmentar la velocitat fins a la velocitat vB , que el situa a l'òrbita circular de radi rB.
Així doncs, la paradoxa és que el satèl·lit ha d'augmentar dues vegades la seva velocitat per acabar en una òrbita on la velocitat és inferior a la inicial. La segona llei de Kepler, és a dir, la variació de la velocitat al llarg de la trajectòria el·líptica, ens explica satisfactòriament la paradoxa.

Alguns càlculs

El càlcul de les velocitats en òrbites el·líptiques és relativament fàcil, tot i que no s'inclou en el currículum del batxillerat.
En el moviment d'un satèl·lit (òrbites circulars o el·líptiques) s'han de conservar l'energia (E) i també el moment angular (L). Si escollim dos punts, 1 i 2, complint que el vector velocitat sigui perpendicular al vector posició ( tal com es compleix en els punts escollits de les trajectòries de la figura 2), tenim:

(2)

Tenint present que el concepte de moment angular no figura en el currículum del batxillerat, per facilitar-ne la comprensió a l'alumnat d'aquest nivell, en comptes de parlar de conservació de moment angular podem igualar les dues àrees escombrades en el perigeu i en l'apogeu de l'òrbita el·líptica, punts 1 i 2, tal com diu la segona llei de Kepler o llei de les àrees (triangles amb una alçada r i una base v dt, on dt és un diferencial de temps), que és conseqüència directa de la conservació del moment angular:

(3)

A la igualtat (3) aïllem la velocitat v2 :

(4)

Multipliquem per 2 la primera igualtat de (2) i després simplifiquem la massa m del satèl·lit


i substituïm v2 pel valor obtingut en l'expressió (3)



Amb alguns càlculs senzills, podem aïllar v1 fins a obtenir l'expressió


I utilitzant de nou l'expressió també obtenim el valor de la velocitat v2


Podem comprovar que si l'òrbita és circular, és a dir, r1=r2 aleshores obtenim en qualsevol de les dues fórmules la velocitat v

que coincideix amb l'expressió (1) que permet calcular la velocitat orbital circular.
També podem comprovar que si l'òrbita no és tancada (en el límit i v2=0) obtenim l'expressió

que correspon a la velocitat d'escapament d'una òrbita circular.
Ara estem en condicions de resoldre numèricament algun exercici i comprovar-ho amb alguna simulació.


Exercici


Enunciat


La NASA vol situar un satèl·lit del sistema GPS en l'òrbita correcta, però prèviament l'ha posat en l'òrbita de la ISS (Estació Espacial Internacional) per efectuar-hi alguns ajustaments en l'espai. Podeu calcular les velocitats orbitals i les velocitats que cal comunicar al satèl·lit en els moments en què es fan les transferències entre òrbites?




Solució

Primerament cal disposar de les dades de les òrbites, que podem trobar a la Viquipèdia (http://ca.wikipedia.org/wiki/GPS i http://ca.wikipedia.org/wiki/ISS)

  • GPS: h = 20200 km
  • ISS: h = 400 km (entre 370 i 460 km)

Així doncs, amb el radi de la Terra de 6400 km, els radis de les òrbites circulars seran:

  • GPS: 26600 km
  • ISS: 6800 km

Això ens permet calcular les velocitats de les òrbites circulars de la ISS i del sistema GPS, suposant que massa del planeta és 6·1024 kg.
Nota: en els càlculs utilitzem sempre el sistema internacional d'unitats (SI), de manera que les unitats dels resultats sempre han de ser les corresponents a aquest sistema.



També podem obtenir les velocitats en el perigeu i en l'apogeu de l'òrbita el·líptica de transferència.





Simulacions

Podem utilitzar un parell de miniapliacions (applets) per simular els moviments del satèl·lit i alhora comprovar que les solucions són correctes.
Al web "Des simulations de sciences physiques pour vous cultiver ou pour illustrer vos cours", del professor G. Gastebois, dintre de l'apartat "Gravitation" podem trobar la miniaplicació "Étude du mouvement (Satellites)". És recomanable visualitzar-la amb una resolució alta de pantalla (1.280 x 1.024 o superior), sense les barres d'eines auxiliars del navegador (Preferits, Històric...) i a pantalla completa (F11). (Fent clic a la figura 3 podeu accedir-hi directament.)

Per començar, podem triar l'opció “Satellite” (apareix la Terra) i assignar als paràmetres superiors els valors que corresponen a l'òrbita circular de la ISS:


  • h0 (km) = 400 (és l'alçada, no el radi de l'òrbita)
  • v0x (km/s) = 0
  • v0y (km/s) = 7,67
  • v0z (km/s) = 0

En iniciar la simulació (botó inferior ), efectivament comprovarem que l'òrbita és circular i molt propera al planeta (figura 3). Podem dur a terme altres observacions: valor d'excentricitat molt petit, velocitat pràcticament constant, la llei de les àrees de Kepler (botó inferior )...

Tot seguit podem simular l'òrbita del satèl·lits GPS amb els valors: 1 // 20200 // 0 // 3.88 // 0.
Podem observar també algunes característiques d'aquesta òrbita; potser la més interessant per a nosaltres torna a ser que l'òrbita és pràcticament circular.
I com a tercer pas, reproduirem l'òrbita de transferència amb els valors dels paràmetres: 1 // 400 // 0 // 9.69 // 0.
És interessant observar que l'òrbita que descriu ara el satèl·lit és el·líptica (figura 4), però sobretot que la velocitat màxima és 9,69 km/s (tal com hi hem assignat nosaltres) i que la mínima en l'afeli és 2,48 km/s, que coincideix plenament amb el valor calculat a l'apartat anterior. Per facilitar-ne l'observació, podem utilitzar els botons inferiors i . A la part superior esquerra la mateixa miniaplicació subministra el valors numèrics de la velocitat màxima i la mínima.
També pot ser pedagògic per a l'alumnat observar la llei de les àrees i com varia la velocitat al llarg de la trajectòria.
A continuació podem utilitzar una segona miniaplicació per comprovar que els càlculs que hem fet per efectuar correctament la transferència del satèl·lit són correctes. Al web d'Ángel Franco García "Física con ordenador - Curso Interactivo de Física en Internet", al final de l'apartat "Dinámica celeste // Fuerza central y conservativa // Órbita de transferencia" hi ha una miniaplicació que ens permet fer exercicis d'òrbites de transferència (fent clic a la figura 5 podeu accedir-hi directament).

En el nostre cas, hi assignarem els valors:


En prémer el botó , observarem les òrbites de la ISS i dels satèl·lits GPS.

En la obtindrem la velocitat inicial del satèl·lit però hi haurem d'assignar el valor calculat (9690 m/s) i prémer el botó per veure la trajectòria que seguirà el satèl·lit.
Quan el satèl·lit arriba a l'apogeu, la miniaplicació ens confirma si efectivament ha aconseguit l'òrbita que es volia assolir o no. Si s'ha aconseguit, haurem d'escriure la adequada per poder situar el satèl·lit en l'òrbita dels GPS, el valor serà 3880 m/s, i prémer el botó .
A la figura 5 podem observar la situació de la miniaplicació després d'haver aconseguit la transferència amb èxit.

És interessant observar en aquesta miniaplicació l'evolució de les energies (cinètica i potencial gravitatòria) del satèl·lit en les diferents fases del moviment.




Sumari  4/10 

Inici

ISSN: 1988-7930    Adreça a la xarxa: www.RRFisica.cat    Adreça electrònica: redaccio@rrfisica.cat  difusio@rrfisica.cat
Comitè de redacció : Josep Ametlla, Octavi Casellas, Xavier Jaén, Gemma Montanyà, Cristina Periago, Octavi Plana, Jaume Pont i Ramon Sala.
Treballem conjuntament : Societat Catalana de Física, Associació de Professores i Professors de Física i Química de Catalunya,XTEC, Universitat Politècnica de Catalunya, Universitat de Barcelona

     
Programació web:
Xavier Jaén i Daniel Zaragoza.

Correcció lingüística:
Serveis Linguïstics de la Universitat Politècnica de Catalunya.
Aquesta obra està subjecta a una
Llicència de Creative Commons
Creative Commons License

Recursos de Física col·labora amb la baldufa i també amb ciències Revista del Professorat de Ciències de Primària i Secundària (Edita: CRECIM-UAB)