Dinámica celeste

Fuerza central y conservativa

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Actividades

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En esta página, estudiamos el movimiento de un cuerpo de masa m cuando se lanza desde un punto situado en el eje X a una distancia r1 del centro fijo de fuerzas, con velocidades crecientes v1 perpendiculares al radio vector.

Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas en torno del Sol, sin indagar en las causas que producen tal movimiento.

1.-Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.

2.-El vector posición de cualquier planeta con respecto del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.

3.-Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes de la elipse.

Las leyes de Newton, no solamente explican las leyes de Kepler sino que predicen otras trayectorias para los cuerpos celestes: las parábolas y las hipérbolas. En general, un cuerpo bajo la acción de la fuerza de atracción gravitatoria describirá una trayectoria plana que es una cónica.

Como se ha comentado, las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción entre un cuerpo celeste y el Sol, determinan un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, que cuando se expresan en coordenadas polares, conducen a la ecuación de la trayectoria, una cónica.

El programa interactivo procede de otro modo, calcula las componentes de la aceleración a lo largo del eje X, y a lo largo del eje Y, dando lugar a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden que se resuelven por procedimientos numéricos

Solución numérica de las ecuaciones del movimiento

Supongamos que una partícula de masa m (un planeta) es atraída por un cuerpo masivo de masa M (el Sol) Supondremos que la la influencia de la partícula sobre el cuerpo es despreciable permaneciendo en reposo en el origen.

La partícula está sometida a una fuerza atractiva F cuya dirección es radial y apuntando hacia el centro del Sol.  El módulo de la fuerza viene dado por la ley de la Gravitación Universal

Siendo r la distancia entre la partícula y el centro de fuerzas, y x e y su posición respecto del sistema de referencia cuyo origen está situado en el Sol. Las componentes de la fuerza son

Aplicando la segunda ley de Newton, y expresando la aceleración como derivada segunda de la posición, tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Dadas las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial), el sistema de dos ecuaciones diferenciales se puede resolver aplicando el procedimiento numérico de Runge-Kutta.

Escalas

Antes de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, es conveniente prepararlas para que el ordenador no maneje números excesivamente grandes o pequeños.

Establecemos un sistema de unidades en el que la longitud se mide en unidades astronómicas, la distancia media entre el Sol y la Tierra. L=una UA=1.496·10¹¹ m y el tiempo en unidades de año, P=un año= 365.26 días=3.156·10⁷ s.

En el nuevo sistema de unidades x=Lx’, t=P·t’, la primera ecuación diferencial se escribe

Como L es el semieje mayor de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, P es el periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta completa, y M es la masa del Sol. Por la tercera ley de Kepler, el término

Volviendo a la notación x e y para la posición y t para el tiempo en el nuevo sistema de unidades. El sistema de ecuaciones diferenciales se escribe

Principio de conservación de la energía

La energía total de la partícula es una constante del movimiento. La energía de la partícula de masa m en el instante inicial t=0 es

Cuando E₀<0 la partícula permanece confinada en el espacio que rodea a los dos cuerpos. Cuando E₀≥0 la partícula escapa al infinito

La energía de la partícula en el instante t es igual a

En el nuevo sistema de unidades establecido

v=v’·L/P, x=x’·L, y=y’·L, d=d’·L

Volviendo a la notación previa. Definimos una nueva energía e por unidad de masa en este sistema de unidades

El programa interactivo evalúa en cada instante el cociente

que denominaremos tanto por ciento de error. Cuando la energía e difiere de e₀ de modo que el cociente es mayor que la unidad el programa interactivo se detiene, la trayectoria calculada puede que se desvíe significativamente de la real, y esto suele ocurrir cuando la partícula está muy cerca del centro de fuerzas

Fuerza central y conservativa

En la figura, se muestra un cuerpo que describe una trayectoria elíptica alrededor del centro de fuerzas situado en uno de sus focos. La distancia de máximo acercamiento es r₁ y la de máximo alejamiento r₂. Las velocidades que lleva el cuerpo en estas dos posiciones extremas son v₁ y v₂ respectivamente. La constancia del momento angular y de la energía  nos permite relacionar estas cuatro magnitudes.

Se pueden plantear dos problemas :

• Conocido r₁ y r₂ calcular v₁ y v₂.

Se despeja v₁ en la primera ecuación y se sustituye en la segunda. Obtenemos

Algunos estudiantes erróneamente, calculan v₁ ó v₂ a partir de la dinámica del movimiento circular uniforme, pensando que el centro de fuerzas coincide el centro de curvatura de la elipse. Si R es el radio de curvatura de la elipse en la posición más cercana al centro de fuerzas, la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme se escribe

Como vemos R coincide con el parámetro d, que interviene en la ecuación de la elipse en coordenadas polares.

• Conocido r₁ y v₁ calcular r₂ y v₂.

Conocida la posición r₁ y la velocidad v₁ en el momento del lanzamiento, aplicando la constancia de la energía y del momento angular calculamos la velocidad v₂ y distancia r₂ al centro de fuerzas. Después de algunas operaciones, obtenemos la velocidad v₂ en función de r₁ y v₁

       (1)

Velocidad de escape

Se denomina velocidad de escape v_e de una partícula que está a una distancia r₁ del centro de fuerzas, a la velocidad que hemos de proporcionarle para que llegue al infinito con velocidad nula

Por ejemplo, la velocidad de escape de la superficie de la Tierra es r₁=6.37·10⁶ m, M=5.98·10²⁴ kg es v_e=11190.7 m/s

Podemos expresar la velocidad v₂ en términos de la velocidad de escape v_e

Obtenemos la distancia r₂ al centro de fuerzas a partir de la constancia del momento angular

Movimiento circular

Si el satélite es lanzado con una velocidad vc tal que describirá una órbita circular de radio r.

Podemos comprobar en la fórmula (1), que si el satélite sigue una órbita circular entonces v₂=v₁

En el caso de los satélites artificiales que circundan la Tierra Si la velocidad de lanzamiento v1 es inferior a vc el punto de lanzamiento es el apogeo. Si la velocidad de lanzamiento v1 es mayor que vc el punto de lanzamiento es el perigeo. En la figura, la trayectoria de color rojo es circular.

Ejemplos:

Ejemplo 1. La Tierra

La Tierra describe una órbita aproximadamente circular de radio r=1.496·10¹¹ m=1 UA. Aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme calculamos la velocidad de al Tierra. Sabiendo que la masa del Sol es M=1.98·10³⁰ kg, la velocidad de la Tierra es v=29711.8 m/s. En el sistema de unidades establecido en el primer apartado

• La longitud se mide en L=1.496·10¹¹ m
• El tiempo se mide en P=un año=365.26 días=3.156·10⁷ s.

la velocidad v' vale v=v'·L/P

v'=6.268 UA/año

El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es P=1 año

Cuando introducimos en el programa interactivo x=1.0 y v_y=6.27, obtenemos una trayectoria circular alrededor del Sol.

Ejemplo 2. Marte

Los datos de Marte son Semieje mayor a=1.524 UA, Excentricidad ε=0.093.

• La distancia más cercana al Sol (perihelio) es r₁=a-c=a-εa=1.382 UA=2.068·10¹¹ m

• La distancia más alejada del Sol (afelio) es  r₂=a+c=a+εa=1.666 UA=2.492·10¹¹ m

Conocidas las distancias máxima y mínima r₁ y r₂ calculamos la velocidad en el perihelio v₁

v₁=26420.7 m/s=5.573 UA/año

Cuando introducimos en el programa interactivo x=1.382 y v_y=5.573, obtenemos la trayectoria elíptica de Marte alrededor del Sol, y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa P=1.86 años.

Actividades

Cuando se han acumulado varias trayectorias, se pulsa en el botón Borrar para limpiar el área de trabajo del applet

Ejercicio:

public abstract class RungeKutta {
	double h;
RungeKutta(double h){
	this.h=h;
}
void setPaso(double dt){
	this.h=dt;
}
public void resolver(Estado e){
	//variables auxiliares
	double k1, k2, k3, k4;
	double l1, l2, l3, l4;
	double q1, q2, q3, q4;
	double m1, m2, m3, m4;
//estado inicial
	double x=e.x;
	double y=e.y;
	double vx=e.vx;
	double vy=e.vy;
	double t=e.t;

	k1=h*vx;
	l1=h*f(x, y, vx, vy, t);
	q1=h*vy;
	m1=h*g(x, y, vx, vy, t);

	k2=h*(vx+l1/2);
	l2=h*f(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);
	q2=h*(vy+m1/2);
	m2=h*g(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);

	k3=h*(vx+l2/2);
	l3=h*f(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);
	q3=h*(vy+m2/2);
	m3=h*g(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);

	k4=h*(vx+l3);
	l4=h*f(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);
	q4=h*(vy+m3);
	m4=h*g(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);

	x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
	vx+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
	y+=(q1+2*q2+2*q3+q4)/6;
	vy+=(m1+2*m2+2*m3+m4)/6;
	t+=h;

//estado final
	e.x=x;
	e.y=y;
	e.vx=vx;
	e.vy=vy;
	e.t=t;
}
abstract public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t);
abstract public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t);

}

public class Planeta extends RungeKutta{
Planeta(double h){
	super(h);
}
public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){
	double r=Math.sqrt(x*x+y*y);
	double z=-4*Math.PI*Math.PI*x/(r*r*r);
	return z;
}
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){
	double r=Math.sqrt(x*x+y*y);
	double z=-4*Math.PI*Math.PI*y/(r*r*r);
	return z;
}
public double energia(double x, double y, double vx, double vy){
	double r=Math.sqrt(x*x+y*y);
	double z=(vx*vx+vy*vy)/2-4*Math.PI*Math.PI/r;
	return z;
}
}

//Objetos de la clase Planeta

	Estado estado=new Estado(0.0, x, 0.0, 0.0, vy); //estado inicial
	Planeta planeta=new Planeta(0.005);
 	eInicial=planeta.energia(estado.x, estado.y, estado.vx, estado.vy);

//rutina que calcula la trayectoria paso a paso
	planeta.resolver(valor);
	double energia=planeta.energia(estado.x, estado.y, estado.vx, estado.vy);
	double error=Math.abs((energia-eInicial)*100/eInicial);
	if(error>1.0){
		//detiene el movimiento
	}