Ampere, on vas?

L’electromagnetisme ha estat sempre envoltat d’un aire misteriós. Aquest misteri ha estat, sense voler-ho, reforçat amb l’elecció de les unitats emprades en els càlculs. No és nou culpar de l’embolic de les unitats les dificultats que hom troba en explicar l’electromagnetisme. Però tampoc no és nou la manca de propostes encaminades a desfer aquest embolic. El caldo de cultiu és doncs propici per posar-hi cullerada.

Introducció

En les disciplines cientificotècniques no només volem tenir una explicació "satisfactòria" del món que ens envolta; volem que aquesta explicació sigui contrastable (per a molts això vol dir verificable, a alguns ens agrada dir, en la línia de Karl Poppe, , falsable) a través de mesures realitzades sobre aquest món. Per tal de fer mesures necessitem unitats de mesura. En física l'elecció d'aquestes unitats és especialment important, ja que hi estan involucrats conceptes tan i tan bàsics com els d'espai i temps, a partir de les quals es deriven altres unitats. Diem que les unitats d'espai i temps són fonamentals. Per tenir ben definida una unitat fonamental ens cal un patró. Això és un sistema físic real assequible i reproduïble que ens permeti la construcció real d'un aparell de mesura que utilitzi el patró com a unitat.

Per acord internacional, tots els observadors defineixen els patrons d’espai i temps de la mateixa manera. La BIPM (Oficina Internacional de Pesos i Mesures) és l’organisme que supervisa l’SI (sistema internacional d’unitats). Poden canviar d'aquí no gaire, però actualment les definicions són:

Unitat de temps. El segon, s: un interval temporal d'1 segon és igual a 9192631770 períodes de la radiació corresponent a la transició entre els dos nivells hiperfins dels estats fonamentals de l’àtom de cesi 133. (adoptada el 1967)

Unitat de distància. El metre, m: un interval espacial d'1 metre és igual a la distància recorreguda per la llum en el buit durant un interval de temps de 1/299792458 segon. ( adoptada el 1983)

A més, cal afegir-hi la definició de massa (gravitatòria? inercial?) per completar el que s'anomena MKS ( massa, kilogram, segon), que és el germen de l’SI. Per entendre’ns, l'MKS seria l'extracte de l’SI que fa referència a la mecànica. Tradicionalment amb l'MKS podem fer mecànica, però no electromagnetisme. Això ja és un primer fet estrany si tenim en compte que la mecànica és el metallenguatge per tractar el moviment (espai i temps) i les seves causes (forces o interaccions). Podem tractar la força gravitatòria, la d'una molla, les forces de fricció... però no les d'origen electromagnètic. Com si aquestes fossin "especials". Però de fet tots sabem, i expliquem, que a nivell microscòpic la força que genera una molla, o la fricció, tenen l’origen en forces electromagnètiques. És més, als alumnes els diem que hi ha dues forces fonamentals a la natura: la gravitatòria, tan dèbil que només es fa notar quan un dels cossos és enorme, i l'electromagnètica, que governa quasi tot el que ens envolta... I resulta que no és mecànica?

Aquest racó obscur pretén remenar una mica aquestes qüestions. Està basat essencialment en dos treballs. El primer [1] fa un resum del problema des del punt de vista estrictament de les unitats i tenint-ne present la repercussió en l'àmbit professional i educatiu sense entrar en aspectes conceptuals. El segon [2] és un treball recent en què l'objectiu no era tractar problemes d'unitats, però en el qual precisament una "bona" elecció de les unitats electromagnètiques permet entendre més fàcilment la teoria de la gravitació de Newton.

Sobre el concepte físic de força i massa

Per què la interacció gravitatòria es considera dins la mecànica i l'electromagnètica no? La resposta sembla que es deu al fet que tradicionalment hom ha escollit la mateixa unitat per mesurar masses inercials i masses gravitatòries (o n’hauríem de dir càrregues?).

El concepte de força sorgeix, juntament amb el de massa inercial, quan Isaac Newton formula la seva coneguda 2a llei, que, per a una partícula, és:

(1)

Si un cos de massa gravitatòria M_g interactua amb un altre de massa inercial m i gravitatòria m_g tenim, segons la llei de gravitació de Newton combinada amb (1):

(2)

El que va observar Newton, i d'altres, és que l'acceleració de tots els cossos que interaccionen amb M_g és la mateixa. Això vol dir que el quocient és una constant universal que pot ser absorbida per l'altra constant universal, K. Així, va fer i escriure

(3)

i va anomenar G la constant de gravitació universal, tal com la coneixem actualment. La igualtat és entre dos conceptes diferents. Només si utilitzem les mateixes unitats podem expressar que són iguals. Abans de decidir que cal mesurar els dos conceptes amb les mateixes unitats. La qüestió important aquí és que si , aquest fet no seria motiu suficient per prohibir fer servir les mateixes unitats per als dos conceptes.

Les unitats electromagnètiques

L'embolic d'unitats que podia haver sorgit a la gravitació no va arribar a més per dos motius: el primer perquè el fet que "l'acceleració de tots els cossos que interacionen amb M_g és la mateixa" invita a escollir i, el segon, perquè en la gravitació de Newton no hi ha "efectes magnètics". En l'electromagnetisme no tenim cap dels dos motius. És per això que, històricament, ha sorgit un considerable embolic d'unitats que ha contribuït a deixar l'electromagnetisme fora de la mecànica i se li ha donat aquest aire misteriós que encara avui llueix. Vegem-ho amb més detall. Usualment la interacció electromagnètica es descriu a través de:

1) La força de Lorentz: la trajectòria d'una partícula de càrrega i massa (inercial) en el si d'un camp electromagnètic , sempre que la partícula es mogui amb velocitat petites respecte de la velocitat de la llum, és la solució de l'equació de moviment:

(4)

 

2) Les equacions de Maxwell: el camp electromagnètic , és la solució de les equacions

(5)

 

onés la densitat de càrrega i la densitat de corrent presents.

A més tenim la relació entre constants:

(6)

Tal com hem fet amb la gravitació, a l'expressió (2) i tal com es fa als articles [1-4], afegirem les necessàries constants a (4) i (5) que ens permetin la llibertat d'elecció d'unitats. Hom veu que es poden escriure les equacions de Lorentz-Maxwell introduint 4 constants en la forma

(7)

(8)

Les constants es poden escollir lliurement sempre que compleixin

(9)

Les diferentes eleccions de les constants estan lligades als diferents sistemes d'unitats. A llarg del temps se n'han proposat alguns que aquí recordem:

Per començar, notem que en tots els casos apareix la constant c, no sempre al numerador.

L' MKS-racionalitzat utilitza com unitats el metre, el kilogram i el segon i afegeix l'ampere. La definició actual que dóna la BIPM de l'ampere és:

Unitat de corrent elèctrica :l'ampere és el corrent constant que, en dos conductors paral·lels rectilinis de longitud infinita, de secció circular negligible, separats un metre en el buit, causaria entre aquests dos conductors una força igual a 2 × 10^-7 newtons per metre de longitud.

Resulta sorprenent que l'ampere es defineix en termes de newtons, metres... és a dir en termes de metre-kilogram-segon. L'"ampere internacional" original fou definit electroquímicament com el corrent necessari per dipositar plata a un ritme d'1,118 mg/s d'una solució de nitrat de plata. La definició històrica de l'ampere el tractava, aparentment, com una unitat bàsica. Sigui com sigui, actualment sabem que no és una unitat bàsica, però es continua tractant com si ho fos per raons pràctiques i/o històriques [1].

Només el primer (UES) és un sistema d'unitats coherent, en el sentit que permet fer el límit . Si volem tractar l'electromagnetisme i fer referència a efectes relativistes, etc, necessitem que el sistema d'unitats no amagui aquestes cartes sota la màniga. Nosaltres, tal com fem a [2], en proposem un de nou que, a més de ser coherent, està adaptat especialment a la comparació entre interaccions. El podem anomenar MKS-pur:

on és la constant de gravitació universal. Si redefinisim la unitat kg de manera que , llavors l'MKS-pur passa a ser l'UES. Però si volem mantenir una unitat de massa associada a un objecte, com per exemple el bloc de París, tal com es fa a la teoria de la gravitació, és convenient mantenir el valor de usual.

Unitat de massa : el kilogram, kg, una massa d'1 kilogram és igual a la massa (inercial) del patró internacional: un cilindre d’iridi-platí custodiat a París per la BIPM. (adoptat el 1889)

Així tindrem que un objecte no té dos, sinó tres tipus de massa: la massa inercial, la massa gravitatòria i la massa electromagnètica (o, si es vol, la podem anomenar càrrega elèctrica, però la mesurarem en kilograms).

En l'MKS-pur les equacions de Maxwell-Lorentz s’escriuen:

(10)

(11)

Hem canviat el símbol de càrrega pel més adient que emfatitza el fet que en aquest sistema d’unitats les masses ( inercial o gravitatòries) i les càrregues es mesuren en les mateixes unitats.

Pot semblar que el que hem fet es "només jugar amb les unitats" i que això no té significat físic, que hom pot treballar amb les unitats que vulgui. Això no és cert del tot. No tots els sistemes d'unitats són coherents. L'elecció del sistema d'unitats no és en absolut independent de la teoria. Vegem-ne algun exemple en relació amb l'electromagnetisme.

Amb aquest primer pas (equacions (10) i (11)) el que hem fet és aproximar electromagnetisme i gravitació. Podem aproximar-los més si fem el límit no relativista de (10) i (11). Bé, de fet (10) ja és essencialment no relativista, però no (11). Si fem, estrictament, i fem servir les condicions usuals a l'infinit (nul·litat dels camps) les equacions (10) i (11), esdevenen

(12)

(13)

ja que les equacions per al camp magnètic sóni tenen la solució , que és compatible amb les condicions a l'infinit. Un fet notable és que en aquestes unitats coherents es veu clar que el camp magnètic és un efecte totalment relativista!

Així encara s'apropen més electromagnetisme i gravitació. Les equacions per la interacció gravitatòria (no relativista) són:

(12)

(13)

Notem que les úniques diferències formals entre les equacions electromagnètiques i gravitatòries no relativistes són :

Ara, qui s'atreveix a dubtar que l'electromagnetisme no és mecànica?

Finalment, les lleis de la gravitació de Newton i de Coulomb en l’MKS-pur es poden expressar de la manera següent:

(14)

Reflexions finals

Hem vist que l'elecció d'unes unitats o unes altres no és una qüestió purament de conveniència. Des del punt de vista estrictament conceptual, l'elecció de les unitats està estretament lligada al desenvolupament de la mateixa teoria. No podem deslligar un fet de l'altre. La mateixa teoria que desenvolupem ha de preveure com mesurem. Ja ens agradaria poder ser objectius i definir a priori les unitats i els sistemes de mesura i després desenvolupar i jutjar quina teoria és "la bona".
Vol dir això que les unitats que ensenyem als alumnes són incorrectes? No, de cap manera. Però el que sí que cal que reconeguem és que no són fruit d'un desenvolupament lògic de la teoria, sinó més aviat d'un procés històric no tan senzill d'entendre (per a nosaltres i per als alumnes) i molt difícil de treure’s de sobre per raons fonamentalment pràctiques. No només ensenyem física per saber com funciona el món. Normalment ens veiem empesos a capacitar els alumnes en la modificació de la realitat que els envolta sense que els calgui una comprensió tan profunda d'aquesta. Si és difícil, per als organismes internacionals, la modificació de les unitats electromagnètiques és perquè hi ha moltíssims professionals que en el seu dia a dia fan servir les unitats actuals i, probablement, només en traurien que maldecaps si les haguessin de canviar. Així que, tranquils, de moment tenim ampere per a anys.

Bibliografía

[1] Guissard, A. Electrical Units and Electromagnetic Field Vectors IEEE Transactions on Education Vol. E-15, N. 1, February 1972

[2] Jaén, X., Molina, A. Rigid motions and generalized Newtonian gravitation. Lost in Translation . arXiv:1210.1137 [gr-qc]

[3] Jackson, J.D. Classical Electrodinamics. John Wiley p. 825 (1975).

[4] Llosa, J. i Molina, A.Relativitat especial amb aplicacions a l'electrodinàmica clàssica. Edicions UB, 81, p.206 (2005)

Autor d'aquesta pàgina: Xavier Jaén, professor de física a l'ETSEIB de la UPC.

Aquesta obra està subjecta a una
Llicència de Creative Commons