No fa gaire es va penjar a Youtube una experiència en què es veia una bola que baixava per un pla inclinat. La baixada es realitzava d'una manera un mica peculiar. Semblava que desafiava les lleis de la física o, si més no, les lleis de la conservació. A l'adreça
podeu veure com baixa la bola i com es construeix.
En aquest racó volem aproximar-nos a donar una explicació
de com s'ho fa la bola per baixar de la manera com ho fa i, a la vegada, no
desafiar les lleis de la física, ni tan sols les de conservació.
El que no podem és donar una explicació detallada de com s’ho
fa concretament aquesta bola. Ens complicaríem la vida i no aniríem
al moll de l'os. Preferim ser més simples i analitzar alguns altres exemples
de sistemes que sembla que dissipen energia com a mecanisme essencial que n’explica
el comportament.
Molt cops, quan no sabem on ha anat a parar l'energia diem que s'ha dissipat
en forma de calor. En la majoria de casos no és del tot cert. No és
senzill saber quan es dissiparà o no l’energia "en forma de
calor". Si diem "l'energia s'ha dissipat", s'entendrà
que una part de l'energia mecànica, de la forma que sigui, ha desaparegut
i, com prediu la termodinàmica, contribuirà a l'augment de la
temperatura del mateix cos o d'algun altre cos que hi està en contacte.
En molts casos en què l'energia sembla que no es conserva, més
val que admetem que és perquè s'ha transformat en algun tipus
d'energia que no hem tingut en compte en els nostres càlculs i no perquè
hi hagi dissipació en el sentit que es dóna més amunt.
Per il•lustrar el que estem dient, tractarem alguns exemples conservatius
que sembla que dissipen energia. Són exemples de sistemes mecànics
senzills en què es donen transformacions d'energia mecànica de
diferents tipus: energia de translació, rotació i, finalment,
vibració.
És el paradigma que es posa per a la conservació de l'energia (vegeu la figura 1). Si no hi ha fricció, l'energia es conserva i podem plantejar
on |
|
|
(2) |
Aquesta velocitat explica perfectament el comportament del bloc. Podem trobar-ne fàcilment l'accelereració derivant l'energia (1):
|
(3) |
L'acceleració és constant. Si el pla s'inclina molt, fins a arribar
a la vertical obtenim 
, com podem esperar.
Ara l'esfera rodola. Aquesta és una forma de moure's prou interessant i molt comuna. Resulta que l'esfera interacciona amb el terra del pla no només amb la normal sinó també amb la força de fricció. Tot i això, la força de fricció no treballa mai. La força de fricció sobre l'esfera està aplicada en cada instant al punt de contacte amb el pla. Com que aquest punt no llisca, el desplaçament en el moment de tocar el terra és nul. Cada cop que un punt de l'esfera toca el terra té, en aquell mateix moment, una velocitat nul•la. De resultes, encara que, necessàriament, hi sigui present la força de fricció, el sistema és conservatiu. És a dir, "no dissipa energia en forma de... calor!" . Si fem l'experiència, veurem que els resultats obtinguts amb el bloc no ens serveixen. Si no vigilem, haurem de dir que l'energia s'ha dissipat. Sí que podem dir que l'energia potencial gravitatòria no es converteix enterament en energia cinètica de translació. Un tractament complet del problema és tenir en compte l'energia cinètica de rotació. La condició de rodolar l'escrivim |
|
Escriurem el moment d'inèrcia de la manera següent: 
,
on
és un nombre
que depèn de la distribució interna de la massa. L'energia és
ara:
|
(4) |
La velocitat serà
|
(5) |
I l'acceleració :
|
(6) |
L'acceleració és constant. Si el pla s'inclina molt, fins a arribar
a la vertical, i l'esfera sempre rodola, no obtenim
. Aquest cas, amb un valor gran de ,
és el que exlica el comportament de la roda de Maxwell.
Per simplificar, tractarem una closca esfèrica
de radi El vector posició
L'energia serà
La velocitat és ara
|
|
Aquesta velocitat ja no és la d'un moviment uniformement accelerat. És una velocitat que, tot i que de mitjana augmenta, no ho fa de manera uniforme (vegeu la figura 4), però sí conservativa.
A la figura 5 tenim un esquema del xoc d'una bola amb un terra. Inicialment, la bola pot tenir un moviment de rotació. Si el terra és llis, al final tindrà exactament la mateixa rotació, de manera que la rotació de la bola serà irrellevant. Que el terra sigui llis també vol dir que es conserva la quantitat de moviment horitzontal:
Quant a l'energia, com que la bola és completament rígida i el xoc és llis, només s'intercanvia l'energia cinètica de translació:
Combinant (10) i (11) obtenim |
|
|
|
(12) |
(12) és conseqüència, entre altres coses, de la conservació de l'energia. Pot no complir-se (12) i conservar-se l'energia? Vegem-ne algun exemple.
A la figura 6 tenim el mateix tipus de xoc que a l’apartat
anterior, però ara considerem que la fricció amb el terra
és suficient perquè en cap moment llisqui. És a dir,
es tracta també d'un xoc conservatiu, si tenim en compte també
l'energia de rotació en el balanç energètic.
La conservació de l'energia serà
|
|
Si volem solucionar el problema, és a dir, trobar els
valors finals coneixent-ne els inicials, ens manca una equació. Cal afegir-hi
la conservació del moment angular respecte del punt d'impacte
(vegeu
la figura 6). Per a això, cal tenir en compte que el paràmetre
d'impacte, que ens facilita el càlcul del moment angular de translació,
és 
. Obtenim
així l'expressió de la conservació del moment angular:
|
|
(15) |
Si, per no arrossegar massa paràmetres, ens restringim
a boles buides ( podem pensar en tennis o ping-pong conservatius), 
,
obtenim
|
|
(16) |
La velocitat final pot ser més gran o més petita
que la inicial. Un cas particular interessant és
que
correspon al que podem anomenar, en una barreja d'argot físic i tennistic,
una deixada conservativa,
.
En aquest cas
. Per
aconseguir aquest efecte, inicialment haurem de fer girar la bola a una velocitat
angular
|
|
(17) |
és a dir , el que s'anomena un liftat (el
signe "
"
ens indica que la rotació és en sentit antihorari; vegeu la figura
6). La velocitat final serà, en aquest cas,
més gran que la inicial. Les energies de translació i rotació inicial han anat a parar a energia de translació final. Caldrà que el tennista o el jugador de ping-pong valori si aquesta deixada li surt o no a compte. Translació i vibració: xoc elàstic d’un cos no rígid amb un terra durA la figura 7 tenim una pilota elàstica que, deixada anar verticalment, xoca (bota) amb el terra i no aconsegueix l'alçada inicial. En aquest cas, no hi ha rotació inicial ni és possible un intercanvi d'energia de translació amb una de rotació. El xoc és completament elàstic, però sembla que hi hagi dissipació. En aquest cas, una part de l'energia de translació s'ha transformat en energia de vibració, que, al cap d'una estona, sí que es dissipa, però no com a conseqüència del xoc. |
|
|
Per mirar d'explicar el que passa, fem un model de cos no rígid com el de la figura 8. En lloc d'una pilota tenim dues masses iguals enganxades amb una molla sense massa. Durant el procés de xoc prescindirem de la gravetat. De fet, podem prescindir de la gravetat i pensar que llencem el cos contra el terra a una certa velocitat de translació sense que hi hagi vibració. El que volem analitzar és com canvia aquesta velocitat com a conseqüència del xoc. A la figura 9 tenim el cos just abans de xocar amb el terra. El punt vermell és el centre de masses i, si el cos no vibra, la velocitat d'aquest és la de qualsevol altra part del cos. Els dos blocs van a la mateixa velocitat, com es veu a la figura 10. |
|
|
A la figura 11 el cos ja ha xocat amb el terra. En tractar-se d'un xoc elàstic i dur, la velocitat després del xoc és, pel que fa al mòdul, la mateixa que abans del xoc, però de sentit contrari. A continuació, la molla es comprimeix i les velocitats disminueixen, però sempre amb el mateix mòdul. En arribar al final de la compressió, suposant que la molla és prou dura perquè els dos blocs no es toquin, començarà l’expansió de la molla fins que, quan els dos blocs arribin a tenir el mateix mòdul de velocitat que tenien en iniciar la compressió, el bloc inferior torna a xocar amb el terra (vegeu la figura 12).
|
|
|
A la figura 13 veiem com el bloc inferior xoca per
segona vegada amb el terra i adquireix una velocitat igual que el bloc
superior, amb la mateixa direcció i el mateix sentit. Així,
finalment, el conjunt del cos surt amb una velocitat igual a la velocitat
a què ha arribat. Compareu la figura 9 i la 14. El procés
ha requerit un parell de xocs i s’hi ha hagut d’esmerçar
un cert temps, però el resultat és el mateix que si el cos
fos totalment rígid. No s'ha produït cap intercanvi d'energia
entre l’energia de translació i la de vibració. |
|
|
Tota l'energia de la molla se l'emporta el cos Ara, de l'anàlisi energètica tenim: l'energia
de translació que té el cos (el conjunt |
|
|
|
Tornem ara als xocs. Mirem de trobar la manera d'intercanviar
energia de translació i vibració mitjançant un xoc.
A la figura 18 veiem el model de cos no rígid anterior però
lleugerament complicat amb l'afegitó d'una segona molla que farà
que l'impacte amb el terra no sigui instantani. Com abans, el bloc inferior
arriba al terra amb la velocitat
|
|
|
A la figura 20 ja s'ha produït el xoc. Com que
no ha estat instantani (la duració dependrà de la duresa
de la molla inferior), el bloc superior ha tingut temps de baixar una
mica, comprimir la molla i disminuir la velocitat. Els dos blocs han canviat
el mòdul de la velocitat. El resultat és que, després
del xoc, el conjunt del cos es trasllada a una velocitat
|
|
|
on
és la massa total, 
la
constant de la molla que uneix els dos blocs i 
l'amplitud de les oscil·lacions.
El repartiment de l'energia inicial entre la final de translació
i la de vibració depèn, com veiem, de les característiques
del cos, la duresa de les molles i les masses. Nosaltres hem tractat només
un model que ens ajuda a entendre què passa en la realitat. Els objectes
reals són en general molt més complexos. El que es fa habitualment
és definir un coeficient de restitució 
mesurable experimentalment:
|
|
(20) |
Així, podem dir que un xoc es dóna amb un coeficient de restitució de tal valor. Ara, com hem vist, això no vol dir que no se’n conservi l'energia. L'energia de vibració es pot escriure, si coneixem el coeficient de restitució, com
|
|
(21) |
Tornant a la bola de Youtube, podem dir que no necessàriament es tracta d'un comportament no conservatiu. Al revés, és concebible aquest comportament com a conseqüència de la conservació de l'energia. La presència d'un fluid viscós no significa necessàriament que no es conservi l'energia. Els moviments interns d'aquest fluid poden ser semblants a un rodolament (llefiscós, certament) en què la dissipació de l'energia no té per què ser el més important. La velocitat de la bola de Youtube té un comportament que no és tan allunyat del que es mostra a la gràfica de la figura 4.
Autor d'aquesta pągina: Xavier Jaén, professor de físca de l'ETSEIB de la UPC.
Aquesta
obra estą subjecta a una
Llicčncia
de Creative Commons
,
és
el desplaçament del bloc en la direcció del pla comptat
a partir d'una referència. La velocitat a la qual va el bloc en
funció de 
, on
és
el radi de l'esfera. L'energia tindrà també el terme d'energia
cinètica de rotació. L'esfera no cal que sigui homogènia,
però sí que demanarem que tingui simetria esfèrica,
de manera que el centre de masses sigui al centre de l'esfera.
, sense
massa, que té fixada, a la meitat d'un radi, una massa puntual
. Ara, la condició
de rodolar l'explicitarem una mica, més escrivint la relació
que hi ha entre l'espai recorregut i l'angle girat respecte de la normal,
. Derivant, tindrem
és la
velocitat del centre de l'esfera, que és la que percebem més
fàcilment com a observadors. 
i la velocitat
de la massa són
.
. En
aquest moment, el deixem anar. La molla es va descomprimint. El bloc 
resta
quiet, per causa que rep una força externa, la normal del terra,
que impedeix que es mogui avall. Notem que aquesta força no treballa,
no dissipa energia. Just quan acaba la descompressió de la molla,
la situació és la de la figura 16. 
.
Això no vol dir que el conjunt, el centre de masses, vagi a aquesta
velocitat. Podem calcular en aquest instant la quantitat de moviment total
i la velocitat del centre de masses. Recordem que el bloc 
.
Com que ara el conjunt del cos ja no rep cap força externa (recordem
que, per simplificar, hem eliminat la gravetat), el cos continuarà
amb aquesta velocitat constant (figura 17). 
,
que només és la meitat de l'energia inicial de la molla
en comprimir-la. Així doncs, el cos també vibrarà,
amb una amplitud més petita en comparació amb la inicial,
concretament 
.
,
la mateixa que té el bloc superior (figura 19). Sempre suposarem
que les molles són de tal manera que estan dins el seu límit
elàstic. 
inferior
a la d'arribada. L'energia cinètica inicial s'ha transformat en
energia cinètica final de translació i energia elàstica
de la molla: 
