De què parlem quan parlem d'ones?

Què és una ona? Estem davant d'una qüestió clàssica, de tots els temps. No és la nostra intenció repetir-nos. Per què volem tractar aquest tòpic? Perquè encara es detecten força malentesos al voltant de "què és una ona" i perquè l'entrada en escena de les ones gravitacionals sembla que ha revifat l'interès pel tema. En aquest cas, la pregunta seria: què és una ona gravitacional? Si sabem què és una ona, podrem o no saber què és una ona gravitacional? Estem segurs de saber què és una ona electromagnètica? Vegem fins on arribem. No és la nostra intenció ser sistemàtics ni rigorosos en parlar d'ones. Només volem apuntar algunes idees que puguin servir per ampliar les nostres exposicions al voltant d'aquest tema.

Ones mecàniques

Les ones mecàniques són el paradigma de totes les altres ones. La característica més important que tenen és la de poder comptar, d'entrada, amb el que anomenem medi. El medi és la substància que omple l'espai per on discorrerà l'ona. El medi es caracteritza per una sèrie de magnituds físiques, com la densitat, la temperatura, les tensions internes... Si "no passa res" diem que el medi està en equilibri.
És important saber caracteritzar l'estat d'equilibri del medi, ja que serà el referent a partir del qual podrem saber que passa alguna cosa. Si no passa res el medi està quiet, les seves magnituds característiques romanen constants en el temps. Per a una anàlisi introductòria podem fer la simplificació que, en l'equilibri, les magnituds característiques són també independents del punt del medi. I, si alguna de les magnituds té caràcter vectorial, com les tensions internes, podem simplificar-ho imposant que aquestes tensions són independents de la direcció de l'espai. Un bon exemple de medi és la substància aigua en repòs a l'interior d'una gran piscina o l'aire en calma dins d'una habitació tancada. Qualsevol bloc gran de material sòlid homogeni n'és també un bon exemple.

Quan no passa cap ona percebem el medi, en podem mesurar les característiques: densitat, temperatura, etc., i observem que són constants. El medi està en equilibri. Ens adonem que passa una ona perquè les característiques del medi s'alteren respecte de l'equilibri. Deixen de ser constants. L'alteració d'aquest estat d'equilibri és el símptoma que alguna cosa passa, passa una ona.
Notem que també podem saber que el medi està en equilibri observant que les petites porcions de medi romanen en repòs. Quan passa l'ona les petites porcions de medi es posen en moviment. Pot ser difícil d'observar directament, aquest moviment. El que es fa és utilitzar partícules test. Un molt bon exemple on es fa servir aquest procediment és en l'experiència del tub de Kundt, tal com es veu a la figura 1. .

Podem pensar que, en general, el medi interactua amb les partícules test en repòs per contacte. Si el medi està en equilibri la interacció és nul•la. Quan passa una ona, el medi interactua amb les partícules test.
Aquest model es pot visualitzar força bé si considerem com a medi la superfície del mar i utilitzem com a partícula test una pilota de plàstic. En aquest cas, en equilibri, la pilota no només roman en repòs si estava en repòs, també es pot moure rodolant per la superfície de l'aigua hi hagi o no onades. Quan no hi ha onades el medi no altera la trajectòria de la pilota. Quan hi ha onades, la trajectòria de la pilota és alterada. Així, podem dir que veiem que passa una ona perquè veiem com la pilota es mou de manera diferent de quan hi ha equilibri. No ens cal veure l'aigua. No ens cal percebre directament el medi.

Ones harmòniques

Una altra qüestió de la qual cal una explicació és: per què donem tanta importància a les ones harmòniques ( sinusoïdals) per sobre d'altra mena d'ones?. Molts dels nostres estudiants acaben interioritzant que una ona “és” una funció sinusoïdal, quan, de fet, la forma que tingui l'ona no té per què ser el més important. O, si és important, cal saber per què. Sota el concepte d'“ones harmòniques” s'amaga l'equació d'ones. L'equació d'ones és l'equació que compleix una magnitud física característica d'un medi sota hipòtesis molt generals, que podrien subscriure tota mena de medis ( mecànics, electromagnètics, gravitacionals...) per a petites pertorbacions (linealitat, no dissipació, homogeneïtat i isotropia). En una dimensió d'espai, l'equació d'ones per a una magnitud

és

, on

és una constant característica del medi que s'identifica amb la velocitat de propagació de l'ona. La solució general d'aquesta equació és

, on

són dues funcions arbitràries d'un argument. Si, per simplificar, considerem

, la forma de l'ona la determina la forma de la funció

. L'ona pot tenir qualsevol forma. Un exemple típic és el d'una sacsejada feta, de manera més o menys caòtica, en una corda. Per un instant

la corda adoptarà la forma d'un bony,

, que posteriorment avançarà amb una velocitat conjunta

en el sentit positiu de la coordenada

. És il•lustratiu per als estudiants construir una ona a partir d'una funció relativament senzilla i localitzada que modeli el bony. Per exemple, partint de la forma

, obtenim l'ona

, que, fixant alguns valors adequats per

, poden representar en un diagrama

per a diferents valors de

i comprovar com l'ona efectivament avança.

Un altre exemple és, és evident, la forma inicial

que dóna lloc a l'ona

. Diem “és evidentr” perquè es tracta d'un exemple molt conegut. No ens sembla tan clar com fer que una corda tingui inicialment aquesta forma, a banda de necessitar una corda d'una llargada suficient perquè els extrems no afectin l'experiència.
Es poden estudiar moltes de les característiques de les ones sense fer referència a una forma concreta d'ona. En molts casos és més interessant exemplificar l'efecte a través de la forma

que fer-ho amb ones sinusoïdals, pel fet que la primera és una pertorbació que en tot instant està localitzada.
Tot i això, per què són tan important les ones harmòniques sinusoïdals? Encara que conceptualment podem donar una forma inicial a la corda i posteriorment deixar que evolucioni, això no és el que fem en la pràctica. No és tampoc el que li passa en la natura. La sacsejada que fem a la corda per donar-li forma inicial gaussiana és una sacsejada que tenim tota l'estona sota control i aquest control el podem exercir si la corda no està excessivament tensada. Ni una corda destensada és un bon model de medi ondulatori ni la natura no es preocupa de tenir el control de les sacsejades.
Recordem que, abans que passi una ona, ens trobem amb un medi en equilibri. No sabem com és el medi en general, però sabem que està en equilibri. Per simplificar ens quedem només amb una partícula del medi i una dimensió

. La partícula estarà sotmesa a un potencial no conegut,

, a excepció que sabem que ha de tenir un mínim en la posició d'equilibri. La situació és completament anàloga al d'una petita esfera lligada sense fricció a una guia, de forma no coneguda

, amb un mínim en la posició d'equilibri. El potencial en aquest exemple serà el degut a la gravetat

.
Si desenvolupem el potencial en el primer ordre rellevant no nul i fem servir que en la posició d'equilibri, que podem situar a

, hi ha un mínim , obtenim

, on

. La conclusió és que, independentment de la forma concreta del potencial, en l'exemple de la figura 3 la forma de la guia, la partícula farà un moviment harmònic al voltant de la posició d'equilibri del tipus

on la freqüència

dependrà de

i de la massa de la partícula. Això vol dir que si separem de l'equilibri qualsevol partícula d'un medi i la deixem anar el seu moviment serà sinusoïdal.
Com podem fer compatible aquest resultat amb el fet que una ona ha de ser del tipus

? Si la pertorbació

descriu, en l'instant

, el desplaçament de les partícules del medi respecte de les posicions d'equilibri

, tindrem

i, per tant,

, és a dir, una ona harmònica.
La conclusió és que les ones harmòniques seran més fàcilment produïbles a la natura que ones de qualsevol altra forma. De fet, quan volem detectar el pas d'una ona, sigui mecànica electromagnètica o gravitacional, el que esperem és que provoquin, en les partícules test corresponents, moviments harmònics amb una freqüència característica. Detectar un moviment harmònic de les partícules test és la prova definitiva que el que ha passat és una ona. El més difícil és saber quina és la freqüència esperada de l'ona. En funció d'aquesta freqüència utilitzaríem un o un altre dispositiu receptor.

Ones electromagnètiques

Quan parlem d'ones electromagnètiques acostumem a dir, bastant a l'inici de la nostra exposició, que les ones electromagnètiques, com la llum, són unes ones de camp electromagnètic que es propaguen en el buit. Aquesta explicació és formalment correcta, si més no és acceptada com a estàndard, però té una pega. No incideix en la manera com detectem l'ona electromagnètica, com veiem l'ona electromagnètica, com veiem la llum?

Fig. 4: Típica imatge d'ona electromagnètica. En vermell el camp elèctric i en blau el magnètic. Com es mou una càrrega testa causa d'aquesta ona?

El medi ara queda caracteritzat pel camp electromagnètic. En equilibri, el camp electromagnètic és nul. Com en el cas mecànic, el pas d'una ona electromagnètica és l'alteració de l'equilibri del medi, l'alteració del camp electromagnètic, que deixarà de ser nul. Quan el medi electromagnètic està en equilibri les partícules carregades es poden moure lliurement. Quan hi passa l'ona, la trajectòria de les partícules queda alterada. El model que podem fer servir per entendre aquest comportament és el de la pilota test que rodola per la superfície de l'aigua, exposat més amunt.
Els camps electromagnètics interaccionen amb les partícules carregades. Així, per detectar el pas d'una ona electromagnètica hem de fer servir partícules carregades. Això és el que fan les antenes receptores usuals. Quan nosaltres escoltem la ràdio, passejant pel mig del carrer, és perquè, essencialment, les partícules carregades de l'antena es posen en moviment pel pas de l'ona electromagnètica corresponent a l'emissora que volem escoltar. Sintonitzem l'aparell per tal que afavoreixi el moviment d'aquestes partícules per l'excitació de freqüència causada per l'ona electromagnètica de l'emissora que volem escoltar. De tot aquest procés ens n’oblidem i diem que per detectar una ona electromagnètica ens cal un receptor, com per exemple una ràdio. Diem que hem detectat l'ona perquè, a través dels auriculars, escoltem l'ona electromagnètica. Un procés semblant, però a una escala molt més petita, en què també hi ha moviment de càrregues que finalment ens arriben al cervell, és el que fa que veiem directament la llum.
En la descripció d'una ona mecànica no ens cal incidir, no acostumem a fer-ho, en la interacció entre ona (medi) i partícula test, perquè el mateix medi proporciona, si més no conceptualment, partícules (porcions de medi) que, amb certes restriccions (partícules en repòs), actuen com a partícules test. Si veiem directament la substància aigua, veurem directament les onades i no ens cal cap pilota test. Això no vol dir que no hi hagi interacció entre l'ona i la matèria no pertanyent a l'ona que es pugui trobar al seu pas.
En la descripció d'una ona electromagnètica fem, crec que, en part, erròniament, el mateix que amb les ones mecàniques. Ara, però, no hi ha manera de veure un camp electromagnètic directament. Persistim, nosaltres i els llibres que ens acompanyen, i identifiquem totalment l'ona amb el comportament del camp electromagnètic. Fem representacions més o menys artístiques del camp electromagnètic corresponent a una ona harmònica (monocromàtica). Aquesta manera de procedir no és incorrecta i està especialment indicada per a estudiar amb profunditat les ones electromagnètiques. Però no em sembla que estigui tan bé quan es tracta d'introduir les ones electromagnètiques. La figura 4 no ens informa per res de "què fa" una ona electromagnètica. En aquest sentit és més important incidir en el fet que una ona electromagnètica posarà en moviment (d'acord amb la força de Lorentz) les partícules carregades que es trobi al seu pas. Una ona electromagnètica monocromàtica en el buit es caracteritza, entre altres coses, pel fet que l'amplitud de camp magnètic és un factor 1/c l'amplitud del camp elèctric. Això vol dir que quan l'ona es trobi amb una partícula carregada, essencialment la farà moure segons el camp elèctric. Si es tracta d'una ona polaritzada i el camp elèctric té la direcció, diguem, vertical, la partícula farà un moviment harmònic vertical tal com faria, en primera aproximació, una pilota amb les onades del mar.

Ones gravitacionals

En el cas de les ones gravitacionals, el medi queda caracteritzat pel valor del camp gravitatori . Quan el medi està en equilibri el camp gravitatori és nul. Quan hi passa una ona gravitacional, els valors del camp gravitatori queden alterats. Què és una ona gravitacional? Per detectar el pas d'una ona gravitacional hem d'emprar “càrregues gravitacionals”, és a dir, masses, partícules amb massa però sense càrrega elèctrica. També ens cal tenir alguna predicció teòrica de quines característiques tindrà aquesta ona i, sobretot, saber com es comportaran les partícules amb massa afectades pel pas de l'ona gravitacional. És també molt important saber quin és el rang de freqüències que s'espera que tingui l'ona. Això ens permetrà dissenyar i dimensionar el detector adequadament.
A la figura 5 es pot veure l'efecte, exageradíssim, que tindria una ona gravitacional polaritzada plana que incidís en la direcció normal a la pantalla/paper , sobre un conjunt de petites masses lliures que abans del pas de l'ona estan en repòs formant un anell circular. De fet, el possible moviment pot ser la superposició dels dos modes il•lustrats a les figures. Així, podem dir que una ona gravitacional (harmònica) és un camp gravitatori oscil•lant que afecta les partícules amb massa, tal com es veu en aquestes dues figures. Si volem, podem dir més coses sobre l'espaitemps i la seva curvatura, que tenen la seva importància, i molta a l’hora de fer la predicció de com són les ones gravitacionals, què les provoca, etc. Però, si no sabéssim tot això, l'ona existiria, hi passaria igualment i faria moure l'anell de partícules com hem esmentat. Com hem comentat a l'editorial d'aquest número, no cal saber que la llum és una ona electromagnètica per notar-ne els efectes. El problema és que els efectes d'una ona gravitacional són molt i molt dèbils. Tot i això, el que no tindria sentit és pretendre saber "què és" una ona gravitacional sense conèixer-ne els efectes.


Fig. 5: Moviment d'una anella de petites masses al pas d'una ona gravitacional en els modes cross i plus.

De què parlem quan parlem d'ones?

Introducció

Ones mecàniques

Ones harmòniques

Ones electromagnètiques

Ones gravitacionals