(vegeu la figura 1) i S
és el punt cap a on es dirigeix la força centrípeta, aquesta
es inversament proporcional a:La relació que hi ha entre l’òrbita el·líptica, la hipèrbola o la paràbola que descriu un cos astronòmic al voltant del Sol i la llei de l’invers del quadrat de la distància es pot deduir utilitzant una expressió aproximada per la força que s’obté a partir d’idees bàsiques de física i matemàtiques de primer i segon de batxillerat i fent mesures geomètriques sobre la trajectòria.
Quin tipus de força fa que un planeta descrigui una òrbita el·líptica? En general, hi ha poques experiències relacionades amb la llei de la gravitació universal que es portin a terme amb l'alumnat de secundària i que suposin algun tipus de mesura. A continuació proposem una experiència que es pot presentar a l'alumnat de diferents maneres. La idea original apareix a la revista The Physics Teacher de gener de 2007, a l’article de Prentis et al. [1]. En essència, es tracta d'una adaptació de la fórmula del corol·lari 5 de la proposició VI del llibre I dels Principis matemàtics de filosofia natural de Newton i les aplicacions subsegüents dels problemes VI, VII i VIII (o proposicions XI, XII, XIII).
Al corolari 5 de la proposició VI del llibre I dels
Principis matemàtics de filosofia natural, Newton demostra que
si un cos es mou segons la trajectòria
(vegeu la figura 1) i S
és el punt cap a on es dirigeix la força centrípeta, aquesta
es inversament proporcional a:
 |
O bé d’una altra manera
 |
(1) |
A continuació, Newton demostra que:
Les demostracions dels Principia mathematica són geomètriques i molt difícils de seguir; a continuació, justifiquem la fórmula de Newton (1) amb un llenguatge i una notació més adaptada al nostre temps.
Considerem un planeta que giri al voltant del Sol, punt G
amb una trajectòria no especificada (la figura 2 correspon al cas de
trajectòria el·líptica). En un determinat interval de temps
es mou del punt H
al punt I.
Si no hi hagués cap força sobre el planeta, d’acord amb
la llei de la inèrcia de Galileu, el planeta es mouria segons la línia
tangent 
, amb la velocitat
constant que tenia a H.
La desviació 
ens proporciona una mesura de la força. En una primera aproximació,
més certa com més pròxims sigui la distància,
podem pensar que el planeta experimenta una caiguda lliure amb acceleració
constant a,
és a dir:
 |
(2) |
A la segona llei de la dinàmica, F=ma , substituïm l’acceleració pel valor que s'obté d'aïllar-la de (2):
 |
(3) |
o d’una altra manera,
 |
(4) |
Si ara utilitzem la segona llei de Kepler, el radi vector que connecta el Sol
amb el planeta escombra àrees iguals en intervals de temps iguals, per
la qual cosa tenim 
, i
en conseqüència:
 |
(5) |
Cal que recordem que el compliment de la segona llei de Kepler ( que equival
a la conservació del moment angular) no suposa que la força sigui
del tipus 
, n'hi ha prou
que es tracti d'una força central.
Quan tenim
o 
,
podem aproximar l’àrea del sector escombrat pel radi vector 
per l’àrea del triangle 
 |
(6) |
I finalment si substituïm (6) a (5), obtenim que:
 |
(7) |
és a dir, tenint en compte els canvis de notació, obtenim (1).
S’ha de fer notar a l'alumnat que en l’expressió (7), si
prescindim de la constant de proporcionalitat, la força que actua sobre
el planeta té unitats de 
.
També que en la deducció anterior no s'ha utilitzat enlloc que
la trajectòria sigui justament una el·lipse. Ara es tracta precisament
de fer servir (7) per veure que, si es tracta d'una el·lipsi
resulta!.
L'expressió (7) pot ser explicada a l'estudiantat de batxillerat sense gaires problemes.A partir d'aquest punt, suposarem que l'estudiantat coneix aquesta expressió.El procediment general de dibuixar una el·lipse i dur a terme les mesures corresponents es pot fer amb programari lliure. Un bon programa és:
 |
De tota manera, amb precissió suficient es pot fer el mateix dibuixant (no virtualment) una el·lipse força gran. A la fitxa de l'estudiantat no suposarem necessariament l'existència de cap programa.
Un cop tenim les mesures,
i 
(per
a una col·lecció de puntsHi
) podem calcular 
( en
unitats ) i fer la gràfica
d'aquesta quantitat enfront de 
.
Finalment, cal ajustar aquesta gràfica a una corba del tipus 
,
on caldrà trobar els paràmetres A
i B.
Això es pot fer també amb el programari lliure:
|
El podeu descarregar també aquí |
 |
També podem fer servir el programa no gratuit:
 |
És cert que no hi ha una alternativa manual raonable per fer l'ajust.
A la fitxa de l'estudiantat es detallen aquests procediments amb més profunditat.
Autor d'aquesta pągina: Víctor Curcó Murillo, IES La Roca, La Roca del Vallès, vcurco@xtec.cat
Aquesta
obra estą subjecta a una
Llicčncia
de Creative Commons
