núm 11 
Primavera del 2013
Societat Catalana de Física

Inici

Sumari      5/9 


Problemes empaquetats
Octavi Plana
Com als problemes empaquetats anteriors, els problemes proposats estan agrupats a partir dels paràgrafs del currículum de física de batxillerat. En aquest número abordem el segon tema: planetes i satèl·lits.

Planetes i satèl·lits

Introducció

Qui no ha deixat volar la imaginació amb fabuloses naus espacials de ciència-ficció en exòtics sistemes planetaris? L'exploració de l'espai ens proporciona actualment molts exemples fascinants sobre l'aplicació dels continguts relacionats amb el camp gravitatori en situacions reals.

 

Avui dia hi ha tantes dades disponibles de missions espacials reals i d'observacions astronòmiques, i és tan fàcil aconseguir-les, que seria una llàstima haver de proposar als alumnes problemes referits a situacions que no existeixen. Al mateix temps, possiblement les situacions reals excitaran molt més la curiositat de l'alumnat i evitarem problemes artificiosos.
D'acord amb l'abundància i diversitat de fonts disponibles, s'ha intentat que les dades apareguin en els enunciats amb diferents formats: mapes celestes, fotogrames, pàgines web oficials de missions. De la mateixa manera també es demanen les respostes en diferents formats: a més de les típiques resolucions per càlcul numèric es demana la construcció de gràfics, la redacció d'explicacions, el càlcul d'errors i la representació gràfica de vectors.

 

 


Full de l'alumnat

 

Planetes i satèl·lits 1: Descripció i interpretació del sistema solar vist des de la Terra. Observació de planetes, el Sol i la Lluna i del seu moviment aparent al cel nocturn o en planetaris o en planisferis informàtics. El sistema solar des d'un sistema de referència heliocèntric.

 

 

1. La figura 1 mostra la posició aparent del cometa C/2009 P1, principalment visible durant l'any 2011, respecte al firmament tal com es veu des de la Terra. Proposa una explicació per a la forma de tirabuixó de l'òrbita aparent.

Fig. 1

 

Planetes i satèl·lits 2: Comprensió i aplicació de la gravitació universal. Càlcul de la força gravitatòria sobre un cos a la superfície i a diferents altures sobre la Terra i d'altres astres. Relació d'identitat entre la força gravitatòria i la força centrípeta en les òrbites (suposadament circulars) dels planetes i dels satèl•lits. Aplicació al càlcul de paràmetres orbitals per a òrbites circulars: períodes, velocitats i radis.

2. La ISS vola a una òrbita aproximadament circular a unsd'altura sobre la superfície de la Terra. Dins seu hi ha 2 astronautes amb una massa .
a) Amb quina força atreu la Terra cada un dels dos astronautes? Compara-la amb el pes dels astronautes quan eren a la superfície de la Terra.

b) Com és que “floten” dins la nau?

c) Calcula la velocitat i l'acceleració (des de la Terra) de cada un dels dos astronautes.

La ISS perd altura lentament a causa de la la fricció amb l'atmosfera (uns cada mes) i cada cert temps els motors de la nau l'han de tornar a pujar.
d) Indica com anirà variant la massa, el pes real i el pes aparent d'un astronauta a la ISS mentre la nau va perdent altura.

Dades: , ,

Planetes i satèl·lits 3: Reconeixement i interpretació de la intensitat del camp gravitatori: relació entre la intensitat del camp gravitatori i l'acceleració de la caiguda lliure. Coneixement de la variació de al voltant d'un astre. Determinació experimental de a partir de la mesura de l'acceleració d'una caiguda lliure.

3. La intensitat del camp gravitatori a la superfície de la Lluna és de .
a) Completa el gràfic (vegeu la figura 2) que indica la intensitat del camp gravitatori en funció de l'altura (expressada en radis lunars) sobre la superfície de la Lluna.



Fig. 2:


4. Aquestes 2 imatges corresponen a un salt que va fer l'astronauta de l'Apollo 16 John Young a la Lluna. Considera que l'estatura de l'astronauta amb la motxilla era de, que la primera imatge correspon al punt més alt del salt i que la segona es produeix més tard.
a) Utilitzant aquestes dades calcula aproximadament el valor de a la superfície de la Lluna.
b) Sabem, a més, que el diàmetre de la Lluna és de . Amb la calculada anteriorment, podries fer una estimació de la massa de la Lluna?
c) Els valors acceptats per a l'acceleració de la gravetat i la massa de la Lluna són i . Calcula l'error absolut i l'error relatiu que hi havia a les estimacions fetes als apartats anteriors.

Fig. 3:

 

Planetes i satèl·lits 4: Comprensió i aplicació de l'energia potencial gravitatòria. Determinació de l'energia necessària per enviar un satèl•lit a una òrbita circular o per enviar-lo fora del camp gravitatori de la Terra. Velocitat d'escapament.

5. La nau Dawn va ser llançada amb la missió d'explorar dos asteroides: Vesta i Ceres. Considera que en el moment de màxima proximitat a Vesta estava en una òrbita circular a d'altura sobre la superfície d'aquest asteroide.
a) Calcula la velocitat i el període de l'òrbita de la nau Dawn al voltant de Vesta en l'òrbita de màxima proximitat.

b) Al juliol de 2012, la nau Dawn va començara allunyar-se de Vesta i es va dirigir cap a l'altre asteroide. Quanta energia cal subministrar a la nau com a mínim perquè escapi de l'atracció de Vesta des de la seva òrbita?

,
diàmetre de Vesta,





Fig. 4: font imatge:
http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Dawn-image-070911.jpg

 

Planetes i satèl·lits 5: Caracterització de naus espacials i satèl•lits artificials. Aplicació en camps diversos. Recerca d'informació de dades de les naus, dels seus llançaments i de detalls orbitals. Estudi, mitjançant simulacions, de diferents paràmetres orbitals d'una nau espacial. Anàlisi de diferents tipus d'òrbites en funció de l'energia mecànica.

6. El telescopi espacial Webb es llançarà el 2014 o el 2015 i girarà en una òrbita circular al voltant del Sol al punt L2. Aquest punt està alineat amb el Sol i la Terra, a de la Terra i a del Sol.

a) Calcula la força gravitatòria total que actuarà sobre el telescopi Webb, de .

b) Considera que aquesta força no varia d'intensitat i calcula el període de la translació del telescopi al voltant del Sol en dies terrestres.

Dades:

 





Fig. 5: font imatge:adaptat de
http://en.wikipedia.org/wiki/File:L2_rendering.jpg

7. La missió Giotto va consistir a enviar una nau espacial perquè es trobés amb el cometa Halley. La figura (no està a escala) mostra les trajectòries de la Terra, del cometa Halley i de la nau Giotto poc mesos abans de la trobada.

a) En el moment de màxima proximitat la nau va passar a del cometa. Compara la intensitat del camp gravitatori causada pel Sol i la intensitat del camp gravitatori causada pel cometa en la posició de la nau. Quina conclusió respecte a l'òrbita de la nau en podries extreure?

b) L'òrbita del Giotto, el•líptica, estava calculada de manera que completés òrbites al voltant del Sol en anys (va tornar a trobar-se amb la Terra al cap de anys). Calcula el període (en anys) i el semieix major de la seva òrbita (en unitats astronòmiques).


D ades: , massa de Halley, massa del Sol, distància Sol-punt de trobada Halley-Giotto , període de translació de la Terra, semieix major de l'òrbita de la Terra( :unitats astronòmiques)


 





Fig. 6: font imatge:simplificada a partir de
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Giotto_Halley_e_Grigg-Skjellerup.png

8. La figura mostra la Terra i una nau espacial de de massa, sense cap motor. S'indica la posició de la nau cada cert temps

a) Dibuixa, sobre cada un dels 4 punts vermells representant la nau (vegeu la figura 7), el vector acceleració, A, i el vector velocitat,V de manera que quedi ben clara quina és la direcció i el sentit i en quins casos són més grans o més petits aquests vectors.

b) Les velocitats i les distàncies de la nau al centre de la Terra es recullen en aquesta taula

figura temps (s) velocitat (km/s) distància al centre de la Terra (Mm)

1

0

8,5

7,97

2

800

7,93

8,78

3

1600

6,87

10,6

4

2400

5,91

12,7

Determina l'energia mecànica de la nau. Tornarà a passar la nau pel punt 1 o es troba en una òrbita oberta? Justifica la resposta.
D ades: , ,

Fig. 7

9. XMM-Newton és el satèl·lit més gran llançat per l'Agència Espacial Europea. La seva massa és de (és el simbol de tona). A la pàgina web de la missió (http://sci.esa.int/science-e/www/object/index.cfm?fobjectid=31349) hem trobat la següent informació sobre la seva òrbita.

Orbit/Navigation

Orbit insertion

XMM-Newton reached its operational orbit less than a week after being launched by Ariane 5. The satellite was initially injected into a temporary orbit, with a perigee of 850 km and an apogee of 114 000 km, and then utilised its own propulsion system to raise the perigee.

Forty minutes after the satellite was released from the launcher upper stage, telemetry from XMM-Newton confirmed that the solar arrays had deployed. After checking the satellite's health and its correct orientation, engineers at the Mission Control Centre waited almost one day (22 hours) until XMM-Newton reached its first apogee. At that precise moment they ordered the first of four (eventually five) firings of XMM-Newton's thrusters, four (plus another four for redundancy) small jets using hydrazine propellant. Each boost occurred at apogee, progressively raising the perigee to 7000 km.

Fig. 8:ESOC Main control room from which the XMM-Newton early orbit phase was controlled.
Meanwhile the telescope tube was emptied of any residual gases (outgassing), the sunshield deployed, and finally the doors of the mirror modules opened.
Operational orbit

XMM-Newton's operational orbit is highly eccentric (reaching nearly one third of the distance to the Moon) and has been chosen for two reasons. First the XMM-Newton instruments need to work outside the radiation belts surrounding the Earth. These radiation belts are filled with highly energetic particles and extend out to about 40 000 km from the Earth. The radiation of the accelerated particles can cause both damage to the science instruments and false readings.

Second, a highly eccentric orbit offers the longest possible observation periods - less interrupted by the frequent passages in the Earth's shadow that occur in a low orbit.
In addition, the orbital period of XMM-Newton is exactly two times the Earth's rotation period to maintain optimal contact between XMM-Newton and the ground stations tracking the satellite. This allows XMM-Newton data to be received in real-time and for it to be fed to the Mission Control Centres.
At apogee XMM-Newton was 114 000 km away from Earth and moving at its slowest. At perigee the velocity was nine times faster as it passed the Earth at an altitude of 7000 km.

Fig. 9:Schematic of XMM-Newton's operational orbit at the start of the mission

Com pots comprovar, distingeixen entre l'òrbita a la qual el va deixar el coet llançador, “òrbita d'inserció”, i l’“òrbita operacional”, en la qual el satèl•lit estava en les condicions òptimes de funcionament.
a) Compara les dues òrbites: En quina té més energia mecànica? En quina té un període més gran? Quins elements orbitals són iguals en les dues òrbites?

b) Quant de temps passa a cada òrbita a menys de d'altura ? I a més de ? A què es deu aquesta diferència tan gran?

c) Dibuixa sobre la figura el vector velocitat i el vector acceleració al perigeu, a l'apogeu i al punt marcat “”.

d) En quin punt de l'òrbita es van posar en marxa els motors per passar de l'òrbita d'inserció a l'òrbita operativa? Com hauria estat l'òrbita resultant si s'haguessin posat en marxa els motors just a l'extrem contrari de l'òrbita?

e) A quin punt convindria frenar el satèl•lit al final de la seva vida operativa si volem que s'acabi desintegrant a l'atmosfera terrestre?




Solucions

Planetes i satèl·lits 1.1.

La clau és la "posició aparent". Veiem el cometa des de la Terra, que no constitueix un sistema de referència inercial. Les voltes del tirabuixó corresponen al moviment del la Terra al voltant del Sol (una volta cada any). Aquests girs estan combinats amb el moviment del cometa, que cal tenir present que és més aparent quan està més a prop de la Terra, tant per l'efecte de proximitat com perquè coincideix amb els moments de màxima velocitat (periheli).

Planetes i satèl·lits 2.2.

a)

Aquestes forces són menors que a la superfícies de la Terra, ja que és més petita. Podem comparar-les quantitativament i dir que seran
o bé
b) Pot argumentar-se que la nau és un sistema de referència no inercial amb una acceleració centrípeta, a causa de la seva òrbita circular de ; de manera que per a un observador a la nau els astronautes tenen una acceleració aparent .
c) L'acceleració és igual a la , ja que els astronautes estan en caiguda lliure (mentre no hi actuï a sobre cap força diferent del pes); així doncs, (apuntant cap al centre de la Terra).
Podem trobar a partir de , ja que estan en una òrbita circular i l'única acceleració és l'acceleració centrípeta:

(òbviament en la direcció tangent a l'òrbita i en el sentit de l'avanç)


d) La massa no variarà (en tot cas no variarà per aquest motiu).
El pes real augmentarà quan disminueixi l'altura , ja que augmentarà, encara que cal dir que el canvi serà molt petit: en un mes passarà de a , de manera que , és a dir un augment del .
El pes aparent no canviarà, ja que serà nul en tot moment.

Observacions: pot remarcar-se aquí que les respostes quantitatives són millors que les qualitatives (per exemple, en les 2 comparacions que es demanen).

 

Planetes i satèl·lits 3.3.

Serà suficient marcar 3 punts en els quals , i notar que la línia ha de tendir a zero quan es faci molt gran.





Fig. 10:

Planetes i satèl·lits 3.4.

a) Cal mesurar a la foto (vegeu la figura 3) l'altura de l'astronauta,, i la del salt,, i fer una proporció. A mi m'ha donat : ; per tant, el salt deu ser de .
Per a una caiguda lliure sense velocitat inicial , per tant, .
b) Per a un punt situat a la superfície d' una massa esfèrica, ,
c) Els errors absoluts seran
i
i els errors relatius i
En aquest exercici és evident que no a tothom li donarà exactament igual (llevat que s'ho copiïn), ja que depèn de mesures bastant poc precises. El resultat presentat és sorprenentment exacte si considerem les estimacions de les dades inicials.

Planetes i satèl·lits 4.5.

Es troba en una òrbita circular al voltant de Vesta de radi
a)


b) Perquè quedi en una òrbita lliure, cal que com a mínim l'energia sigui zero. Calculem primer l'energia que tenia en l'òrbita circular:

Per tant caldrà subministrar, com a mínim, perquè pugui escapar de l'atracció de Vesta.

Planetes i satèl·lits 5.6.

a) Quan el telescopi estigui al punt L2 experimentarà l'atracció de la Terra, amb una força

i l'atracció del Sol, amb una força

Com que les dues forces són tenen la mateixa direcció i sentit, la força total tindrà el mòdul

b) ,

per tant

És remarcable que una nau en el punt L2 dóna voltes al voltant del Sol amb el mateix període que la Terra, encara que està a més distància de la nostra estrella. Aquest fet és un dels requisits de disseny del telescopi, tal com diu l'enunciat. El que hem fet aquí es comprovar que es compleix.

Planetes i satèl·lits 5.7.

a) Poden calcular-se els mòduls de i


de manera que és molt més gran, de l'ordre de vegades .
Podria arribar-se a una comparació vàlida calculant simplement
La conclusió és que la trajectòria de la nau pràcticament no serà afectada per la proximitat al cometa.
b) El període de Giotto és de. Se'n pot trobar el semieix major aplicant la 3a llei de Kepler, atès que tant la Terra com Giotto orbiten al voltant del Sol:

Planetes i satèl·lits 5.8.

a) Cal que quedi clar que el vector A apunta cap al centre de la Terra, i no cap al centre de l'òrbita ni en direcció perpendicular a V (llevat del punt 1) o paral·lela a l'òrbita. Cal també que es mostri que el mòdul va disminuint. El vector velocitat V ha de ser sempre tangent a l'òrbita i decreixent.

b) Qualsevol de les files de la taula és suficient per a calcular l'energia mecànica.

El valor negatiu de l'energia indica que és un sistema lligat. L'òrbita és tancada i tornarà a passar pel punt inicial.

Fig. 11:

Planetes i satèl·lits 5.9.

a) Ambdues òrbites tenen el mateix apogeu i comparteixen el pla orbital, però l'òrbita operativa té un perigeu més allunyat; per tant, el seu semieix major és més gran i també serà més gran el seu període.
Totes dues òrbites són el•lipses, però l'òrbita d'inserció és més excèntrica i té menys energia que l'òrbita operativa (ha calgut energia per passar de l'òrbita d'inserció a l'òrbita operativa).

b) Està per òrbita a més de d'altura (de les a les )
Està a menys de d'altura (la resta del període fins a )
El fet que quan està a més distància de la Terra va més lent (pot justificar-se a partir d ela segona llei de Kepler o a partir de la conservació de l'energia) justifica aquesta desproporció de temps.

c) Vegeu la figura 12. Les velocitats estan etiquetades en vermell i les acceleracions en verd.

d) Els motors es posen en marxa en passar per l'apogeu.
Si s'haguessin posat en marxa al perigeu hauria augmentat l'altura de l'apogeu sense canviar la del perigeu (òrbites encara més excèntriques).

e) Convindria frenar-lo, per exemple amb retrocoets, en passar per l'apogeu; així disminuiria l'altura del perigeu fins a caure a l'atmosfera.

Fig. 12:





Sumari  5/9 

Inici

ISSN: 1988-7930 DL:  B-31773-2012   Adreça a la xarxa: www.RRFisica.cat    Adreça electrònica: redaccio@rrfisica.cat  difusio@rrfisica.cat
Comitè de redacció : Josep Ametlla, Octavi Casellas, Xavier Jaén, Gemma Montanyà, Cristina Periago, Octavi Plana, Jaume Pont i Ramon Sala.
Treballem conjuntament : Societat Catalana de Física, Associació de Professores i Professors de Física i Química de Catalunya,XTEC, Universitat Politècnica de Catalunya, Universitat de Barcelona

     
Programació web:
Xavier Jaén i Daniel Zaragoza.

Correcció lingüística:
Serveis Linguïstics de la Universitat Politècnica de Catalunya.
Aquesta obra està subjecta a una
Llicència de Creative Commons
Creative Commons License

Recursos de Física col·labora amb la baldufa i també amb ciències Revista del Professorat de Ciències de Primària i Secundària (Edita: CRECIM-UAB)