Solució

La solució és molt senzilla i podem explicar-la a l'alumnat de batxillerat, tot i que els detalls dels càlculs numèrics (no gaire complicats) queden fora del seu currículum. Vegem-ho.
Les fórmules que acabem de calcular i que solem aplicar en tots els exercicis corresponen només a òrbites circulars malgrat que sabem que la primera llei de Kepler diu que, en general, les òrbites dels satèl·lits són el·líptiques. Així doncs la solució a la nostra paradoxa és senzillament que el satèl·lit que orbita amb velocitat v_A i que guanya velocitat (fins al valor v_eA > v_A) abandona l'òrbita circular i passar a orbitar en una el·lipse al voltant de la Terra (Figura 1).

Segons la segona llei de Kepler (Viquipèdia: http://ca.wikipedia.org/wiki/Lleis_de_Kepler) , la velocitat d'un planeta varia segons el punt de la trajectòria al voltant del Sol:

De manera que, tal com observem a la figura 2, v_eA > v_eB.
Així doncs perquè un satèl·lit situat en una òrbita circular (radi r_A) es pugui situar en una òrbita circular amb un radi més gran (r_B) cal que recorri una òrbita de transferència el·líptica amb una velocitat màxima (v_eA ) quan es troba a una distància r_A de la Terra i mínima (v_eB) quan està a una distància r_B.
El procés serà, doncs, el següent: el satèl·lit orbita circularment (radi r_A) amb una velocitat v_A i cal que acceleri fins a obtenir una velocitat superior v_eA que correspon a la velocitat del perigeu (punt de l'òrbita situat a mínima distància de la Terra) de l'òrbita el·líptica de transferència. Mentre recorre la trajectòria el·líptica va disminuint la velocitat fins a arribar, just en l'apogeu (punt de l'òrbita situat a la màxima distància), al valor v_eB. Aquesta disminució de velocitat es pot argumentar de forma senzilla, tenint en compte que al llarg de la trajectòria, de A fins a B, el satèl·lit puja (s'allunya de la Terra). Just en aquest moment (apogeu) ha de tornar a accelerar per augmentar la velocitat fins a la velocitat v_B , que el situa a l'òrbita circular de radi r_B.
Així doncs, la paradoxa és que el satèl·lit ha d'augmentar dues vegades la seva velocitat per acabar en una òrbita on la velocitat és inferior a la inicial. La segona llei de Kepler, és a dir, la variació de la velocitat al llarg de la trajectòria el·líptica, ens explica satisfactòriament la paradoxa.

Alguns càlculs

El càlcul de les velocitats en òrbites el·líptiques és relativament fàcil, tot i que no s'inclou en el currículum del batxillerat.
En el moviment d'un satèl·lit (òrbites circulars o el·líptiques) s'han de conservar l'energia (E) i també el moment angular (L). Si escollim dos punts, 1 i 2, complint que el vector velocitat sigui perpendicular al vector posició ( tal com es compleix en els punts escollits de les trajectòries de la figura 2), tenim:

(2)

Simulacions

Podem utilitzar un parell de miniapliacions (applets) per simular els moviments del satèl·lit i alhora comprovar que les solucions són correctes.
Al web "Des simulations de sciences physiques pour vous cultiver ou pour illustrer vos cours", del professor G. Gastebois, dintre de l'apartat "Gravitation" podem trobar la miniaplicació "Étude du mouvement (Satellites)". És recomanable visualitzar-la amb una resolució alta de pantalla (1.280 x 1.024 o superior), sense les barres d'eines auxiliars del navegador (Preferits, Històric...) i a pantalla completa (F11). (Fent clic a la figura 3 podeu accedir-hi directament.)

Per començar, podem triar l'opció “Satellite” (apareix la Terra) i assignar als paràmetres superiors els valors que corresponen a l'òrbita circular de la ISS:

Tot seguit podem simular l'òrbita del satèl·lits GPS amb els valors: 1 // 20200 // 0 // 3.88 // 0.
Podem observar també algunes característiques d'aquesta òrbita; potser la més interessant per a nosaltres torna a ser que l'òrbita és pràcticament circular.
I com a tercer pas, reproduirem l'òrbita de transferència amb els valors dels paràmetres: 1 // 400 // 0 // 9.69 // 0.
És interessant observar que l'òrbita que descriu ara el satèl·lit és el·líptica (figura 4), però sobretot que la velocitat màxima és 9,69 km/s (tal com hi hem assignat nosaltres) i que la mínima en l'afeli és 2,48 km/s, que coincideix plenament amb el valor calculat a l'apartat anterior. Per facilitar-ne l'observació, podem utilitzar els botons inferiors i . A la part superior esquerra la mateixa miniaplicació subministra el valors numèrics de la velocitat màxima i la mínima.
També pot ser pedagògic per a l'alumnat observar la llei de les àrees i com varia la velocitat al llarg de la trajectòria.
A continuació podem utilitzar una segona miniaplicació per comprovar que els càlculs que hem fet per efectuar correctament la transferència del satèl·lit són correctes. Al web d'Ángel Franco García "Física con ordenador - Curso Interactivo de Física en Internet", al final de l'apartat "Dinámica celeste // Fuerza central y conservativa // Órbita de transferencia" hi ha una miniaplicació que ens permet fer exercicis d'òrbites de transferència (fent clic a la figura 5 podeu accedir-hi directament).

• 
  
• 

En prémer el botó , observarem les òrbites de la ISS i dels satèl·lits GPS.

En la obtindrem la velocitat inicial del satèl·lit però hi haurem d'assignar el valor calculat (9690 m/s) i prémer el botó per veure la trajectòria que seguirà el satèl·lit.
Quan el satèl·lit arriba a l'apogeu, la miniaplicació ens confirma si efectivament ha aconseguit l'òrbita que es volia assolir o no. Si s'ha aconseguit, haurem d'escriure la adequada per poder situar el satèl·lit en l'òrbita dels GPS, el valor serà 3880 m/s, i prémer el botó .
A la figura 5 podem observar la situació de la miniaplicació després d'haver aconseguit la transferència amb èxit.

És interessant observar en aquesta miniaplicació l'evolució de les energies (cinètica i potencial gravitatòria) del satèl·lit en les diferents fases del moviment.