núm 9 |
Primavera del 2012 |
Societat Catalana de Física |
| Inici |
| Sumari |     5/10  |
 | La dilatació del temps Josep Maria Valls i Marta Segura |
| Presentem dues activitats sobre la relativitat del temps. |
Guia per al professoratEs tracta de dues activitats sobre la relativitat del temps. La primera es basa en la lectura d’una petita història o conte en què s’explica la dilatació del temps si fóssim capaços de viatjar a velocitats properes a la de la llum. Recordeu que a El racó Obscur TemporalitzacióTres classes. Una d’explicació de la teoria (amb la lectura del
conte), una altra de càlculs i plantejament d’uns exercicis, i
una tercera podria ser de resolució conjunta dels exercicis o qüestions
proposades. Alumnes als quals s’adreça l’experiència 2n de batxillerat, quan s’estudien els temes relacionats
amb la nova física.
El conte dels bessons. Full de l’alumnatObjectiu
|
Comprendre la relativitat del temps.| En Joan i l’Ester
són una parella de - Si hem recorregut |
 |
|
anys,
d’anada
i 
.
Amb 
.
L’estrella Alfa Centauri és a 
.
Per tant la podrien observar relativament de prop.
i no
hi havia cap rastre d’Alpha. L’Ester va revisar-ho tot i va
comprovar que tot era correcte. Va fer un senzill càlcul:
| Ella i el seu
fill havien aconseguit viatjar a
Mentre deia això, un cotxe es va parar. Van saber
que es trobaven molt prop de la ciutat on vivien. |
 |
|
,
és a ddir, 
vegades més ràpid que la llum !!! Aquesta proesa era el
millor regal que li podia fer al seu fill Roger de 
anys. Molt contenta, es disposà a viatjar de tornada cap a la Terra.
D’altra banda, no van experimentar cap dificultat de tipus biològic,
raó per la qual en arribar a la Terra tindrien moltes coses per
celebrar.| A mesura que
s’anaven acostant a la ciutat, l’Ester estava inquieta en
no reconèixer res. No semblava pas que fos casa seva, aquella ciutat.
El conductor els va ratificar que era el lloc on anaven. L’Ester
va començar a pensar i a lligar caps: el cotxe era molt estrany,
la manera de vestir del conductor també i el lloc estava molt canviat.
Mentre anava pensant tot això, va veure un calendari dins el cotxe.
Marcava l’any 2090!.
Ella havia sortit de la Terra l’any 2010
! No podia ser!
En Roger no entenia res. |
 |
|
anys
els va rebre i els va conèixer. Era l’Alba, la germana bessona
d’en Roger. El seu pare, en Joan, li havia parlat del seu germà
i de la seva mare. I en el seu moment, quan va reconèixer l’error
que havien comès i abans de morir, li va dir que els esperés.
L’anciana filla i la jove mare es van abraçar. El pare mort;
la filla Alba de 
,
i l’altre fill, germà de l’Alba, en Roger, de Explicació
Explicació científica del conte.
La teoria de la relativitat d’Einstein postula que la velocitat de la llum en el buit és una constant universal que no es pot sobrepassar. És com un límit de velocitats, totalment independent del sistema de referència: no podem ni sumar-la ni restar-la a cap altra velocitat. Això implica forçosament que el temps deixa de ser un concepte absolut. Com transcorre el temps depèn del nostre estat de moviment. Això no ho notem respecte a nosaltres mateixos, és clar. Però sí que es nota en comparar els temps transcorreguts.
Considerem dues persones, una en repòs i l'altra que
viatja a velocitat de mòdul constant 
respecte
de la primera. A cada una de les persones els passa el temps, el seu temps.
Si no es tornen a trobar mai més, no tindrà sentit que comparem
els temps que els passa a l’una i l'altra, però sí si la
que viatja torna. Notem que pot tornar mantenint el mòdul de la velocitat
constant, però necessariament haurà d'accelerar en fer el viratge!
Un observador inercial és una persona que està en repòs
o viatja a velocitat (mòdul, direcció i sentit) constant. Només
la persona que resta en repòs es pot considerar que és un observador
inercial; no la que viatja.
és el temps
transcorregut que mesura la persona en moviment, la que viatja a una certa velocitat
i després torna.
S'anomena temps propi.
és el temps
transcorregut que mesura la persona en repòs. És també
el seu temps propi.
Segons la relativitat, podem escriure que
on 
és
la correcció relativista
on 
és el mòdul
constant de la velocitat a què es viatja i 
és la velocitat de la llum en el buit 
.
En el cas del nostre conte,
Fent els càlculs, tenim que 
(
farem servir el valor aproximat 
).
Això vol dir que si la persona que viatja torna al cap de 
anys (mesurats segons els seus rellotges), el temps que hauria transcorregut
segons els rellotges de la persona que resta en repòs seria de 
anys!.
En el conte, l’Ester, de 
anys
i en Roger, d’
any, han estat viatjant, segons ells mateixos, 
anys a aquesta velocitat.
Per tant, en retornar a la Terra l’Ester té 
anys i en Roger en té 
.
Però quan l'Ester i en Roger arriben del viatge, el temps transcorregut
per a l'Alba i en Joan, en repòs a la Terra, respecte de la qual la nau
ha viatjat a la velocitat,
serà 
. El Joan
que tenia 
anys, ara
en tindria 
més,
, i ja és mort.
La seva filla Alba, d’
any, ara en té 
.
Pel que fa al fet d’anar a l’estrella Alfa, és evident que
van arribar 
vegades
més lluny a causa que els temps de durada del viatge estaven calculats
segons els temps transcorreguts a la Terra. Per tant, es tracta de temps
; però a la nau el temps que es mesura és el temps propi
.
Haurien d’haver comptat amb la relativitat del temps. Si ho haguessin
fet, tenint el compte la teoria de la relativitat, haurien arribat a Alfa, segons
els rellotges de la nau, en 
anys,
és a dir, en 
dies. El seu viatge d’anada i tornada només hauria durat, segons
els rellotges de la nau, 
dies. Quan haguessin tornat a la Terra, l’Ester encara no hauria tingut
els 
i en Roger encara
no hauria tingut els 
anys. El seu marit Joan hauria tingut 
anys.I la germana bessona, l’Alba, n’hauria tingut, encara, 
.
Qüestionari
Primera qüestió:
Per allunyar-se de la Terra i vèncer el camp gravitatori fa falta una
velocitat de 
, coneguda
com a velocitat d’escapament. Quan es viatja a aquesta velocitat, es produeix
algun canvi en els rellotges? És a dir, es produeix alguna dilatació
del temps? Si viatgéssim a aquesta velocitat, quant de temps trigaríem
a arribar a Alfa Centauri ?
Segona
qüestió:
Imaginem un enorme tren (de milers de quilòmetres de llarg) que es mou
a la mateixa velocitat de la nau de l’Ester, que hi va a dintre. Imaginem
que en Joan veu passar el tren davant seu i pot observar el que hi passa a dintre.
L’Ester enfoca una llanterna al sostre del tren, on hi ha un mirall. Ella
veu que la llum hi arriba i en torna verticalment. En Joan veu que la llum segueix
el camí d’un triangle isòsceles i tarda 
a arribar al mirall i
més a tornar al terra.
Calculeu:
a) L’alçada del tren, tenint en compte que en
Joan veu que la llum viatja durant 
i que el tren va a 
.
Per fer-ho, apliqueu-hi raonaments geomètrics. L’alçada
del vagó del tren és tremenda. Penseu que és un tren imaginari!
b) El temps que l’Ester, a dalt del vagó, veurà
la llum viatjant.
c) L’Ester i en Joan no es posen d’acord amb la
trajectòria que segueix la llum. Qui té raó? Pel que fa
al temps que tarda la llum a fer el recorregut, també depèn de
l’observador. Es compleix la teoria de la relativitat?
El conte dels bessons. Solucions
Primera
qüestió:
Per allunyar-se de la Terra i vèncer el camp gravitatori fa falta una
velocitat de 
, coneguda
com a velocitat d’escapament. Quan es viatja a aquesta velocitat, es produeix
algun canvi en els rellotges? És a dir, es produeix alguna dilatació
del temps? Si viatgéssim a aquesta velocitat, quant de temps trigaríem
a arribar a Alfa Centauri ?
Imaginem que l’Ester viatja amb la nau a una velocitat
de 
. Calculem
.
Per tant, no hi ha cap dilatació.
Però si viatgen a aquesta velocitat cap a Alfa Centauri, a 
,
el temps que triguen a arribar-hi és
Si dividim el resultat per 
,
per passar-ho a hores, després per 
,
per passar-ho a dies, i després per 
,
per passar-ho a anys, trobem un temps d’anada de 
anys.
Si comptem l’anada i la tornada serien 
anys!
Potser seria millor considerar la dilatació del temps i poder viatjar
a velocitats relativistes.
Segona
qüestió:
Imaginem un enorme tren (de milers de quilòmetres de llarg) que es mou
a la mateixa velocitat de la nau de l’Ester, que hi va a dintre. Imaginem
que en Joan veu passar el tren davant seu i pot observar el que hi passa a dintre.
L’Ester enfoca una llanterna al sostre del tren, on hi ha un mirall. Ella
veu que la llum hi arriba i en torna verticalment. En Joan veu que la llum segueix
el camí d’un triangle isòsceles i tarda 
a arribar al mirall i
més a tornar al terra.
Calculeu:
a) L’alçada del tren, tenint en compte que en
Joan veu que la llum viatja durant 
i que el tren va a 
.
Per fer-ho, apliqueu-hi raonaments geomètrics. L’alçada
del vagó del tren és tremenda. Penseu que és un tren imaginari!
Mireu el dibuix.
En Joan, que ho veu tot des de fora veu com la llum tarda 
i més a reflectir-se
en el mirall. (va d’ 
cap a 
a través
del mirall i fa el triangle isòsceles).
és a dir, un total de 
segons
A la velocitat de la llum, cada costat val 
(aquest tren, ja ho hem dit, és molt gran)
En aquest temps, ,
i a la velocitat de 
,
(la velocitat de la nau de l’Ester), el tren ha recorregut 
La llum a cada costat ha recorregut:
Com que és un triangle isòsceles, pel teorema de Pitàgores
podem calcular la distància
, ja que sabem la de la hipotenusa , 
,
i la del catet 
.
Fets els càlculs, l’alçada tremenda del vagó del
tren és
.
b) El temps que l’Ester, a dalt del vagó, veurà
la llum viatjant.
La llum de l’Ester ha anat el línia recta
i ha recorregut el doble d’aquesta distància: 
.
El temps que ha tardat (segons l’Ester) el seu raig de llum ha estat el
següent, dividint la distància per la velocitat:
. Pràcticament
!. Una dècima
part igual que en el conte, en front delssegons
que compta en Joan.
c) L’Ester i en Joan no es posen d’acord amb la
trajectòria que segueix la llum. Qui té raó? Pel que fa
al temps que tarda la llum a fer el recorregut, també depèn de
l’observador. Es compleix la teoria de la relativitat?
Tenen raó tots dos, ja que el temps és
relatiu al sistema de referència. Tenint en compte la teoria d’Einstein,
la correcció relativista és aproximadament 
.
I està d’acord amb els temps que es mesuren des de fora i des de
dins del tren.
La vida dels muons. Full de l’alumnat
Objectiu
Comprendre la relativitat del temps.
Veure’n un exemple real.
Comprovació d’una realitat: el muó
| Els raigs còsmics estan formats per moltes partícules que bombardegen la Terra i que vénen de l’espai exterior. Sabem que els resultats d’aquests bombardejos són partícules inestables que es destrueixen molt ràpidament; però entre elles hi ha una partícula que malgrat que és inestable, és la més estable de totes: el muó. I quèés el muó ?El muó o partícula
Totes les partícules es desintegren seguint una llei exponencial negativa:
Calculem ara quin percentatge de muons arribaran a la
superfície de la Terra a partir d’aquesta equació.
Suposem que la velocitat dels muons és de |
 |
Fig. 5: El muó
es una partícula de càrrega -1, i massa de 0,1056
GeV/c2. Forma part de la segona família de partícules
elementals conegudes com a Fermions. És un leptó, com l'electró,
però d'una generació i massa superiors. |
és una partícula de càrrega negativa igual que l’electró
però que té molta més massa. No es troba pas en l’àtom
però sí que surt com a subproducte de col·lisions,
tant naturals (raigs còsmics) com artificials (acceleradors, CERN
.
Quan el muó es desintegra dóna un electró, un neutrí
(muònic) i un antineutrí (electrònic). 
nombre de partícules que hi ha després del temps t
nombre de partícules
que hi havia en el temps zero
vida mitjana
de la partícula
representa
el tant per u de partícules que encara “viuen” passat
el temps 
. Si
aquesta xifra la multipliquem per 
,
tindrem el percentatge de partícules que encara no s’han
desintegrat en el temps 
i que es formen per col·lisions dels raigs còsmics a Aplicant una senzilla equació del moviment uniforme (amb aquesta velocitat inicial tan gran, considerar l'acceleració de la gravetat no altera significativament el resultat), el temps que tardarien els muons des que es creen fins que arriben al nivell del mar seria de:
El percentatge de muons que arriben el nivell del mar serà doncs:
Per tant, no hi ha pràcticament cap muó que
arribi a la superfície de la Terra. Tots s’han desintegrat abans
d’arribar-hi.
Aquesta és la teoria. Però la realitat és molt diferent.
A l’inici de la dècada de 1940, dos científics americans,
B. Rossi i D.B. Hall,
a dalt d’una muntanya de 
i
amb un detector de muons, van poder-ne detectar 
en una hora!
Si pensem en un muó que visqui exactament 
,
la distància màxima que podrà recórrer, un cop format
a 
d’alçada,
és de:
O sigui que, un cop recorreguts 
ni un sol muó estaria “viu”. Contràriament a la teoria,
a 
de l’origen
aquests científics en van detectar
en una hora. És que viatgen més ràpid que la llum?
I l’experiència no acaba aquí. Els mateixos investigadors
van repetir l’experiment al nivell del mar.
Fent els càlculs teòrics, imaginant que hi ha
muons per hora a , quants
d’aquests arriben al nivell del mar?
El temps que tardarien a arribar-hi seria:
Calculem quants muons arribarien:
L’experiència es va fer i el detector va registrar l’arribada
de 
muons. Com es pot
explicar tot això? Si no podem sobrepassar la velocitat de la llum, vol
dir que els muons també han estat víctimes de la dilatació
del temps.
Explicació
Explicació científica de l’arribada de muons amb vida
La velocitat de 
és igual a
(
velocitat
de la llum en el buit, 
).
La correcció relativista 
val:
Per tant el temps que tardarien els muons a recórrer els
seria:
I, en aquest temps, el nombre de muons que arribaran al nivell del mar serà:
muons, d’acord amb l’experiment.
Abans hem calculat el percentatge de muons que arribarien al nivell del mar
un cop formats a d’alçada
i vèiem que era zero. Calculem-ho ara tenint en compte la dilatació
del temps:
El temps necessari per recórrer els
era de 
.
Aplicant-hi la correcció relativista , aquest temps propi serà:
El percentatge de muons que arribarà serà ara de:
Un
de muons ja és una quantitat apreciable.
El mateix raonament l’haguéssim pogut fer modificant la vida mitjana
dels muons, multiplicant-la per ,
que és exactament el mateix que dividir el temps nostre per .
Qüestionari
Primera
qüestió:
En totes les reflexions anteriors hem suposat que la velocitat dels
muons era de . Hem
de pensar que la velocitat que porten depèn de l’energia amb què
surten després de les col·lisions. Hi ha muons que viatgen a més
velocitat. Si imaginem que la velocitat dels muons és de 
(que és encara més propera a la de la llum), quin percentatge
de muons arriben a la superfície de la Terra?
Segona qüestió:
L’estratosfera on es produeixen les col·lisions dels raigs còsmics
és a de la superfície
de la Terra. Per a un muó que viatja a ,
aquesta distància sembla molt més curta. Per al muó, a
quina distància es troba l’estratosfera de la superfície
de la Terra?
La vida dels muons. Solucions
En totes es reflexions
anteriors hem suposat que la velocitat dels muons era de 
.
Hem de pensar que la velocitat que porten depèn de l’energia amb
què surten després de les col·lisions. Hi ha muons que
viatgen a més velocitat. Si imaginem que la velocitat dels muons és
de 
(que és
encara més propera a la de la llum), quin percentatge de muons arriben
a la superfície de la Terra?
La correcció relativista valdria:
El temps que tardarien els muons que portessin aquesta velocitat seria de:
I el percentatge de muons que arribarien a la superfície de la Terra seria de:
En aquest cas seria la quantitat apreciable
d’un 
de muons
formats que arribarien a la Terra.
L’estratosfera on
es produeixen les col·lisions dels raigs còsmics és a 
de
la superfície de la Terra. Per a un muó que viatja a ,
aquesta distància sembla molt més curta. Per al muó, a
quina distància es troba l’estratosfera de la superfície
de la Terra?
El temps necessari per recórrer els 
era de 
. Aplicant-hi
la correcció relativista, aquest temps propi serà:
Per al muó, la distància 
a
què es troba l’estratosfera de la superfície és
