núm 5

Primavera del 2010

Societat Catalana de Física

Inici

Com podeu col·laborar?

Subscripció

Sumari

8/9

	El racó obscur Xavier Jaén
	Per tal d'esbrinar la paradoxa dels bessons ens introduïm una miqueta en el món de la relativitat.

El tercer bessó

Introducció

En el número anterior, en relació amb la llei de Faraday, acabàvem dient: "Einstein i la relativitat acabaran d'arreglar el que s'ha d'entendre exactament per sistema de referència inercial, però això és tota una altra història". Avui toca una mica d'aquesta altra història. El problema que ens ocupa és conegut com a paradoxa dels bessons. Començarem de ple explicant en què consisteix i on és el fet ( aparentment) paradoxal.

Els bessons

La història comença amb dos bessons, en Pere (amb samarreta verda) i en Ramon (amb samarreta vermella). Sempre han viscut junts i avui és el seu aniversari. Tenen una edat de 12 anys exactament. Cap problema. A la figura 1 tenim en Pere i en Ramon residents fixos en algun poble de la Terra. Aquest mateix dia en Ramon s'enfila en una nau i se'n va a fer un tomb per l'univers a gran velocitat (figura 2). Al cap de 6 mesos de viatge gira cua i comença el retorn cap a la Terra (figura 3). En arribar a la Terra els dos bessons comproven amb gran sorpresa que tenen edats molt diferents. En Ramon té 13 anys, és a dir ha estat, segons ell, un any viatjant pel cel. En canvi en Pere ja és un home vell (figura 4). No és que hagi envellit en un any. Ell ha viscut tots els any en plenitud juntament amb la resta d'habitants del planeta. Fins aquí pot semblar sorprenent, però no hi ha cap paradoxa, no és ciència ficció ni res de res de tot això. Efectivament la teoria de la relativitat preveu que passi així... i així passa! La comprovació ja és clàssica i es fa amb rellotges atòmics (la paraula atòmic només vol ressaltar que es tracta d'aparells de gran precisió). Dos rellotges, A i B, es posen exactament a l'hora en un mateix lloc. A un d'ells, el B, se li fa donar un tomb en un avió prou ràpid. En tornar es comprova que el rellotge B va amb retard respecte de l'A. Fem notar que si els rellotges fossin encara més precisos podríem fer la comprovació utilitzant un cotxe (o fins i tot una bicicleta) en lloc d'un avió. És a dir, aquí els coets i l'espai llunyà no hi tenen un paper especialment rellevant. Ajuden, això sí, a fer-ho tot plegat un pèl més màgic. El fet important és que cal que el que viatja ho faci a gran velocitat... i que torni!

La paradoxa Ara ens fixarem en la paradoxa. Tinguem en compte que la paradoxa apareix perquè algú ens marca un gol. Bé, deixem que ens facin el gol, després ja ens venjarem. Segons la relativitat el moviment és relatiu, per tant, és el mateix que pensem que en Ramon viatja respecte d'en Pere en coet com que és en Pere qui se'n va de viatge respecte d'en Ramon, això sí, juntament amb tota la Terra (figura 5). Així podem aplicar el mateix raonament que fa la relativitat i arribar a la conclusió que quan es tornin a trobar serà en Ramon el vell, mentre que en Pere tindrà només 13 anyets. La paradoxa està servida!

La relativitat

El gran mèrit d'Albert Einstein és haver fet les coses simples. Fem, doncs, les coses simples. Comencem des del principi de tot. Som tots nens i ens fem moltes preguntes. De fet, ho preguntem tot. No deixem passar res. I no admetem respostes per sortir del pas!

Si volem parlar de temps i espai necessitarem saber com es mesuren aquestes magnituds.

Distàncies/regle: per mesurar una distància entre dos punts quiets juxtaposem un regle patró i comptem les divisions que caben entre els punts.

Temps/Rellotge: per mesurar un temps entre dos esdeveniments que ocorren al mateix lloc comptem el nombre d'oscil·lacions d'un rellotge patró (situat en aquest lloc) que caben entre els dos esdeveniments.

En tenim prou amb això? Hem parlat de distàncies entre punts quiets i intervals temporals entre esdeveniments que ocorren al mateix lloc. Necessitem poder parlar de distàncies entre punts que es mouen i d'intervals de temps entre esdeveniments que ocorren en llocs diferents. El que necessitem en definitiva és un sistema de referència: utilitzem el nostre regle per anar assignant a cada punt de l'espai fix respecte nosaltres, ara ja convertits en observadors, una etiqueta que identifiqui la seva posició. També deixarem a cada punt de l'espai un rellotge idèntic al rellotge patró. Un cop fet això... cal posar a l'hora els rellotges! És a dir, cal sincronitzar els rellotges situats en diferents punts de l'espai. Un cop tinguem tots els rellotges sincronitzats podrem, per exemple, caracteritzar la trajectòria del coet d'en Ramon anotant les etiquetes dels punts per on passa i la lectura de cada rellotge de cada punt en l'instant que hi passa. L'aspecte de l'espai-temps d'un observador és representat a la figura 8.

Hom podria pensar que això és una bestiesa, que podem posar a l'hora els rellotges quan els fabriquem tots al mateix lloc i després ja els anirem repartint cap aquí i cap allà en un viatge per l'espai...Bé, potser seria una possibilitat, però recordem què passa amb els bessons! Viatjar no és un fenomen senzill! Haurem de precisar com és aquest viatje etc i la cosa potser se'ns embolica. Penseu en agafar un rellotge de pèndol (o de molla) i anar-lo accelerant i frenant amunt i avall... quin desastre!. Així que farem tal com va fer Albert Einstein en el seu famós article del 1905. Part de la primera pàgina original es pot veure a la figura 9.

A la figura 10 podeu veure un paràgraf de la versió anglesa de l'article. Noteu que el que hi diu i el que diem nosaltres és molt semblant... cosa de nens.

Tenim repartits els diferents relloges per l'espai, encara per sincronitzar. És a dir si la lectura del nostre rellotge patró A, situat a (0,0,0) és t_A , quina ha de ser la lectura d'un rellotge B situat a (x,y,z)? Si ens podem comunicar instantàniament amb B des de A llavors diriem, sense més, que en l'instant en què A marca t_A , t_B= t_A . Però això no és possible i la física es construeix a base de coses possibles. Bé, doncs establim un sistema de comunicació que vagi a una velocitat C. Ep, encara no ens sentim obligats que aquesta velocitat sigui la de la llum. C és simplement una velocitat d'un possible sistema de comunicació. Tant ens fa que sigui 30km/h com 30000km/h... o la velocitatde la llum. En podem dir protocol de sincronització-C (PS-C).

Si en el temps t_A enviem un senyal de A a cap a B que arriba a B en el temps t_B i surt de B (portant la informació t_B) per arribar a A en el temps t'_A , direm que A i B estan sincronitzats si . A la figura 8 podeu veure representat aquest protocol de sincronització. Així, si la velocitat a la qual ens comuniquem és C i d_AB és la distància que hi ha entre A i B , tindrem

Insistim que C no té perquè ser la velocitat de la llum, això vindrà una mica més endavant.

Principi de relativitat i sistemes de referència inercials

Un cop tenim clar el que és un sistema de referència, podrem escriure les expressions matemàtiques corresponents a la nostra teoria en el nostre sistema de referència. Haurem d'admetre que no som els únics capacitats per construir un sistema de referència. Qualsevol observador, sigui on sigui, es mogui o no repecte de nosaltres, pot fer el mateix. El que sí que demanem és que faci servir el mateix protocol de sincronització PS-C. La velocitat de la comunicació no pot ser diferent per a cada observador. L'experiència ens indica que les causes del moviment dels cossos és la mateixa per a sistemes que es mouen els uns respecte dels altres amb velocitat constant. Aquest fet s'eleva a la categoria de principi.

Principi de relativitat: Observadors en llocs diferents, temps diferents, orientacions i que es mouen els uns respecte dels altres a una velocitat constant no notaran cap canvi en les lleis de la natura.

Hom diu que les lleis de la natura són forma-invariant o covariants respecte de translacions espacials, temporals, rotacions i transformacions de velocitat.

Classifiquem tots els sistemes de referència en diferents conjunts de sistemes de referència inercials (SRI). Dins de cada classe els SRI es mouen amb velocitats relatives constants. Privilegiar un conjunt respecte dels altres és una qüestió complicada i molts cops depen del grau de precisió amb què treballem. En línies generals podem considerar que la Terra és un SRI i prendre la classe associada. Si afinem més, prendrem el Sol com a SRI, la nostra galàxia...el cúmul local...etc. Aquesta multiplicitat de classes d'SRI ja va preocupar Newton. Einstein també era conscient del problema, però va haver d'esperar uns anys i fer una altra revolució (la relativitat general) per solucionar aquest detall.

Ens situem en una classe d'SRI, per exemple el cas que la Terra n'és un. Un mateix esdeveniment P pot ser observat des de desde dos SRI diferents, S i S'. . Quina relació hi ha entre aquestes coordenades? No és dificil trobar la resposta, ara que tenim els rellotges ben sincronitzats. La solució es basa, modernament, en el principi de relativitat i en hipòtesis molt generals d'homogeneïtat i isotropia de l'espai-temps, sense fer cap esment de la velocitat de la llum!

Més difícil és fer una interpretació útil del resultat. Ara ens ocuparem d'això. Si algú ens pregunta què és una rotació i com a resposta li donem l'expressió d'una matriu plena de sinus i cosinus, el més probable és que el nostre interlocutor pensi que li prenem el pèl. En canvi si li diem que es tracta de transformacions de punts que deixa invariant la distància relativa entre ells, el nostre interlocutor potser entendrà alguna cosa, o com a mínim la conversa podrà continuar. Mirem, doncs, de continuar. La distància entre dos punts molt pròxims situats en un lloc qualsevol es pot escriure , on hem utilitzat la notació. Que les rotacions deixin invariant la distància vol dir que .

Un esdeveniment és alguna cosa més que un punt a l'espai. És quelcom que passa en un punt i en un instant. La diferència entre dos esdeveniments molt pròxims és . Doncs bé, no és difícil demostrar que podem interpretar les transformacions entre dos SRI que utilitzen PS-C com les que deixen invariant les quantitats i,

(1)

Aquí són les coordenades temps-espai d'un esdeveniment respecte d'un sistema inercial S qualsevol. Les transformacions inclouen translacions i rotacions (independents del temps) i translacions temporals com en el cas no relativista. El que són diferents són les transformacions de velocitat.

Temps propi

Ara considerem S un observador inercial qualsevol i, encara que només sigui per uns instants, S' es mou amb l'objecte observat, com a la figura 12. S'és instàntaniament inercial. Tindrem. Però és el temps de S', és a dir, el temps propi de l'objecte. Així, pel fet queés invariant, podem interpretat aquesta mena de distància espai-temporal com el temps propi de l'objecte observat. Si l'observador S deixa passar una estona, per exemple, de 0 a t, el temps propi que ha transcorregut per a l'objecte, de 0 a , es pot obtenir integrant l'expressió (1)

(2)

La llum

Recordeu que encara no hem dit res de la velocitat de la llum. Estem utilitzant el PS-C, on C és la velocitat del nostre sistema de comunicació. Segons l'expressió (2), si l'objecte anés a la velocitat C no li passaria el temps i si superés aquesta velocitat... ens quedem sense resposta? Hi ha una sortida: que el protocol de sincronització es faci a una velocitat a la qual no pugui arribar cap objecte material, és a dir fer-lo a una velocita que sigui la màxima velocitat existent. Bé, doncs així ho farem. La qüestió ara és si hi ha un límit o no per a les velocitats. Si no n'hi ha podrem fer servir PS-. Així és com es procedeix en la mecànica no relativista. Si , segons (1) les transformacions entre dos sistemes de referència serien les que deixen invariants

(3)

i les transformacions de velocitat esdevindrien , és a dir, es tractaria de les transformacions de Galileu usuals. També amb de (2), obtenim i tot l'embolic del temps deixa d'existir. Però l'experiència sembla indicar que hi ha efectivament un límit: la velocitat màxima que s'ha trobat fins ara coincideix amb la velocitat de la llum en el buit. Podem enunciar aquest fet com a principi.

Principi de la velocitat límit: existeix una velocitat màxima que cap objecte pot superar. El seu valor és.

Així, el que cal és fer servir el protocol de sincronització PS-c , no cal que sigui "llum", n'hi ha prou que sigui un sistema de comunicació possible i que vagi sempre a la mateixa velocitat Així tot quadra.

Solució de la paradoxa

Apliquem els nostres coneixements al viatges dels bessons. Ara que veiem la importància de l'SRI, de seguida veiem que només el bessó que no viatja és inercial. El bessó viatger necessita accelerar per començar el seu viatje, frenar i tornar a accelerar per poder tornar i finalment frenar per arribar a estar amb el seu germà...Si apliquem (2) amb un S que sigui en Pere com a observador d'en Ramon, veiem clarament que és en Ramon qui en tornar és més jove que en Pere. I no ho podem fer al revés: en Ramon no pot ser un observador inercial. Per veure-ho més clar podem introduir un tercer bessó, en Martí, que sempre s'estigui quiet a la Terra com a observador inercial imparcial.

Considerem la situació més general en què tant en Pere com en Ramon se'n van de viatge, un viatge circular durant el mateix període de temps (segons en Martí!), .

Les velocitats poden ser diferents perquè els radis ho són. Amb subíndex P i R segons si es tracta d'en Pere o d'en Ramon, hem representat la situació a la figura 13. És en Martí qui fa els càlculs amb les seves dades referides als seus germans per igual. Li surt, aplicant (2) a cada un d'ells

així qui fa el viatge a més velocitat (diguem en Ramon) durant el mateix temps és qui esdevé més jove: . Un cas particular és no viatjar. El gol que ens han marcat és haver utilitzat la famosa frase "tot és relatiu", que s'hauria de canviar o precisar com a "tot és relatiu al sistema de referència inercial", és a dir: no tot és relatiu.

Postdata

Per acabar posem-hi una mica d'obscuritat. En El racó obscur del número 2 d'aquesta revista parlàvem de les forces d'inèrcia. En concret, ens interessa la secció que deia Caic lliurement. Quan caiem lliurement, com en un camp gravitatori constant, o sempre que totes les parts del nostre cos estiguin sotmeses a la mateixa acceleració, no notem res: ens sembla que estem quiets o, si sabem una mica de física, viatjan en moviment uniforme. De fet, això és el que fan els astronautes en els entrenaments. Es deixen caure dins d'un avió i els sembla que estan en absència de gravetat.
Els sistemes de referència associats a aquests moviments també tenen tot el dret a ser inercials pel fet que no els podem distingir de forma intrínseca els uns dels altres. Dit d'una altra manera, en referència a la secció Principi de relativitat i sistemes de referència inercials, totes les classes de sistemes de referència han de ser igual de vàlides per "fer física". L'espai-temps no és absolut. Per resoldre això, Einstein va haver d'edificar tota una altra teoria: la relativitat general. Però ara sí que entraríem en tota una altra història!