Tens un moment?

Des del punt de vista estrictament físic, el concepte “modern” de força sorgeix, juntament amb el de massa inercial, quan Isaac Newton formula la seva coneguda 2a llei, que aquí escrivim referida a una partícula:

(1)

En aquesta llei només l’acceleració és un concepte definit prèviament. No ho són, en canvi, els de força i massa. Així doncs, què és força? Hom pot dir que la força és la causa de l’acceleració de la partícula i que amb la mateixa força partícules diferents s’acceleren de manera diferent segons una propietat intrínseca que tenen i que anomenem massa. Bé..., d’acord. I què és, en definitiva, la força?, com la fabrico?, on la vaig a buscar?... com la veig? Aquestes són les preguntes que es faria un alumne honest que no tingués el preconcepte de força. L’última pregunta, aparentment la més innocent, és la que obté una resposta més clara. La veuràs cada cop que vegis una partícula que s’accelera. Així, a les palpentes acabaràs aprenent a fabricar-la. Per exemple, veuràs la força quan pressionis la partícula contra una molla i la deixis anar! Més tard confiaràs en el fet que, encara que no la deixis anar, la molla “fa força” i tu també, de manera que les forces que rep la partícula s’anul•len i l’acceleració és zero. Mantenir la molla pressionada per tal que la partícula no s’acceleri et produirà dolor i esgotament, i amb el temps relacionaràs la força amb el dolor i l’esgotament, i, tant si ets físic com si no, et preocuparà més aquest esgotament que no pas l’origen de tot plegat, és clar!

La gran majoria de persones relacionen “força” amb el dolor i l’esgotament muscular que produeix “fabricar-la” i no pas amb el concepte físic tal com l’hem descrit. Seria bo tenir-ho en compte quan expliquem als nostres alumnes què és força. No n’hi ha prou que diguem “tots sabeu què és força”. El que és realment important és ensenyar als alumnes com veure les forces a partir de (1); després, a tall d’exemple, fem el camí descrit més amunt fins a arribar a l’esgotament muscular. El que crec que no es del tot encertat és ensenyar a l’alumnat què és força directament en relació amb la sensació muscular!
A continuació ens plantejarem si podem fer alguna cosa semblant amb el concepte de moment.
.

Una noia porta un pastís amb el braç estirat (vegeu la figura 3). Un noi li diu: “Coi, quina força que tens!”. Al cap de poc, la noia arronsa el braç i així té menys dolor i esgotament muscular, sense que el pastís caigui. Així doncs..., fa la mateixa força, ja que el pastís s’aguanta, o en fa menys, ja que no sent tant de dolor? Què ha de dir el noi respecte de la força que fa la noia?
Ara veurem que si el noi li hagués dit “Coi, quin moment que tens”, no hi hauria hagut cap problema.

Si el pastís pesa i el braç estirat de la noia té una longitud , el moment , respecte de l’articulació del braç, que fa la noia per aguantar el pastís (no comptem el que fa per aguantar el braç, que també en fa!) és .

Quan la noia arronsa el braç, fins a una longitud , el moment esdevé . Així doncs, el que de veritat sorprèn al noi és el “moment que té la noia” amb el braç estirat! El noi pot comentar “quin moment que tens” i deixar-ho de dir quan arronsa el braç. El grau d’esgotament i dolor de la noia es mesura en aquest cas pel moment, no pel pes del pastís. Als alumnes no els costarà gaire trobar situacions quotidianes en què el grau de dolor i esgotament queden més ben quantificats amb el concepte de moment que amb el de força, sense que calgui escriure cap fórmula. Així aconseguirem alumnes que, segons la situació, diguin “quina força que tens!” o “quin moment que tens!”.

El moment no és un concepte tan fonamental com el de força. De fet, en podríem prescindir. Tot i això és un concepte molt útil que simplifica moltes situacions, com ara la de la noia i el pastís. Si no disposem del concepte de moment, hem d’aconseguir un model de braç i un model d'articulació. Com que el braç d’una persona és més aviat complicat, ho farem amb el braç d’un robot de massa negligible. L’articulació està formada per un eix gruixut de radi (vegeu la figura 4). Aquest eix és aguantat pel cos de la resta de robot amb una força , però també, per tal d'evitar-ne el gir, per unes forces al voltant de l'eix que, per simplificar, considerem que són dues, , aplicades tal com es veu a la figura 4. Tenint en compte les lleis de Newton hom obté la versió de la "llei de la palanca" adaptada a aquest cas: . Si el robot arronsa el braç tindrem . El robot aconsegueix el mínim esgotament arronsant del tot el braç (en la pràctica, portant el pastís per sobre de la vertical de l’articulació) fins que . Ara només li cal aguantar el pes del pastís! La força que relacionem amb l’esgotament variable en estirar i arronsar el braç és però no la podem calcular perquè sovint no coneixem el radi de l'eix. Tot i no conèixer-lo, donat un sistema, aquest es manté constant, com és el cas del robot, i aquesta força serà directament proporcional al moment i, per tant, la mesura del moment és indirectament una mesura de la força: és molt més senzill dir que l'articulació, independentment del gruix de l'eix, ha de fer un moment per tal d'aguantar el pastis a una distància ,ja sigui en el cas del robot o la noia, que no té eix! Tal i com l'experiència quotidiana suggereix als nostres alumnes!

1) Si sumem totes les forces aplicades al cos (anomenem aquesta suma ) i sumem totes les masses de les partícules (anomenem aquesta suma), llavors hi ha un punt del cos que s'accelera segons la relació. Aquest punt s'anomena centre de masses i per a cossos homogenis coincideix amb el centre de simetria. El moviment d'aquest punt (encara que doni voltes) s'anomena translació del cos. Així, la força total sobre un cos s'associa al seu moviment de translació.

2) El cos, a més de canviar de translació, també pot canviar d’orientació. Aquest canvi d’orientació o rotació també té una equació associada. Per escriure aquesta equació necessitem un punt amb les característiques següents: si els diferents punts del cos, en moure’s, mantenen la distància amb un punt fix, llavors serà a aquest punt. Si això no passa llavors serà el centre de masses del cos. Si ens limitem a moviments de rotació en un pla, l’equació per a la rotació del cos s’escriu

(2)

Arribats aquí, podríem capgirar el raonament i pensar el que hem dit en relació amb la llei de Newton (1). És un bon exercici per veure que força i moment tenen dificultats conceptuals semblants. Repetim aquí sota el mateix paràgraf, però canviant (indicat en vermell) només força i moment i els conceptes associats.

En aquesta llei (2) només l'acceleració angular és un concepte definit prèviament, cos cosa que no passa amb els de moment i moment d'inèrcia. Així doncs, què és moment? Hom pot dir que el moment és la causa de l'acceleració angular del cos i que, amb el mateix moment, cossos diferents però amb la mateixa forma s'acceleren de manera diferent segons una propietat intrínseca que tenen i que anomenem moment d'inèrcia... Bé...d'acord. I que és, en definitiva,el moment?, com el fabrico?, on el vaig a buscar?...com el veig? Aquestes són les preguntes que es faria un alumne honest que no tingués el preconcepte de moment. L'última pregunta, aparentment la més innocent, és la que obté una resposta més clara. El veuràs cada cop que vegis un cos que s'accelera angularment . Així, a les palpentes acabaràs aprenent a fabricar-lo. Per exemple, veuràs el moment quan cargolis el cos contra una molla i la deixis anar! Més tard confiaràs en el fet que, encara que no la deixis anar, la molla "fa moment" i tu també, de manera que els moments que rep el cos s'anul·len i l'acceleració angular és zero. Mantenir la molla cargolada, per tal que el cos no s'acceleri angularment, et produirà dolor i esgotament i amb el temps relacionaràs el moment amb el dolor i l'esgotament i, tant si ets físic com si no, et preocuparà més aquest esgotament que no pas l'origen de tot plegat, és clar!

Finalment, mostrem dues situacions tractables amb forces o moments, segons el cas, que involucren moviment. Imaginem que volem llançar una pedra amb el braç perquè surti a una velocitat horitzontal determinada. Proposem dues maneres de fer-ho. La primera amb una força constant i la segona amb un moment constant. Per simplificar-ho prescindim de la gravetat.

Amb una força constant: si volem que la pedra, de massa arribi a tenir una velocitat amb un recorregut i amb una acceleració constant tindrem

i la força necessària serà

Amb un moment constant:si volem que la pedra, de massa , arribi a tenir una velocitat , amb un recorregut angular i amb una acceleració angular constant , tindrem

i el moment necessari serà

Fixem-nos que, mentre que amb la força tenim una limitació relacionada amb la llargada del nostre braç, en el cas del moment aquesta limitació no existeix. Compareu les distàncies a què arriben els llançadors de pes i de martell... No tenen res a veure!