Introducció

Quin tipus de força fa que un planeta descrigui una òrbita el·líptica? En general, hi ha poques experiències relacionades amb la llei de la gravitació universal que es portin a terme amb l'alumnat de secundària i que suposin efectuar algun tipus de mesura. A continuació, proposem una experiència que es pot presentar a l'alumnat de diferents maneres. La idea original apareix a la la revista The Physics Teacher de gener de 2007, a l’article de Prentis et al. [1]. En essència, es tracta d'una adaptació de la fórmula del corol·lari 5 de la proposició VI del llibre I dels Principis matemàtics de filosofia natural de Newton i les aplicacions subsegüents dels problemes VI, VII i VIII (o proposicions XI, XII, XIII).

Guia del professorat

Antecedents històrics

Al corolari 5 de la proposició VI del llibre I dels Principis matemàtics de filosofia natural, Newton demostra que si un cos es mou segons la trajectòria (vegeu la figura 1) i S és el punt cap a on es dirigeix la força centrípeta, aquesta es inversament proporcional a:

O bé d’una altra manera    

(1)

A continuació, Newton demostra que:

• Si la trajectòria d'un cos és una el·lipse i la força va dirigida cap a un dels focus, aleshores aquesta força és inversament proporcional al quadrat de la distància (proposició XII, problema VI).
• Si la trajectòria d'un cos és una hipèrbola i la força va sempre dirigida cap a un dels focus, aleshores és inversament proporcional al quadrat de la distància (proposició XII, problema VII).
• Si la trajectòria d'un cos és una paràbola i la força va dirigida cap al focus, aleshores és inversament proporcional al quadrat de la distància (proposició XIII, problema VIII).

Deducció moderna de la fórmula de Newton

Les demostracions dels Principia mathematica són geomètriques i molt difícils de seguir; a continuació, justifiquem la fórmula de Newton (1) amb un llenguatge i una notació més adaptada al nostre temps.

Considerem un planeta que giri al voltant del Sol, punt G amb una trajectòria no especificada (la figura 2 correspon al cas de trajectòria el·líptica). En un determinat interval de temps es mou del punt H al punt I. Si no hi hagués cap força sobre el planeta, d’acord amb la llei de la inèrcia de Galileu, el planeta es mouria segons la línia tangent , amb la velocitat constant que tenia a H.

La desviació ens proporciona una mesura de la força. En una primera aproximació, més certa com més pròxims sigui la distància, podem pensar que el planeta experimenta una caiguda lliure amb acceleració constant a, és a dir:

(2)

A la segona llei de la dinàmica, F=ma , substituïm l’acceleració pel valor que s'obté d'aïllar-la de (2):

(3)

o d’una altra manera,

(4)

Si ara utilitzem la segona llei de Kepler, el radi vector que connecta el Sol amb el planeta escombra àrees iguals en intervals de temps iguals, per la qual cosa tenim , i en conseqüència:

(5)

Cal que recordem que el compliment de la segona llei de Kepler ( que equival a la conservació del moment angular) no suposa que la força sigui del tipus , n'hi ha prou que es tracti d'una força central.

Quan tenim o , podem aproximar l’àrea del sector escombrat pel radi vector per l’àrea del triangle

(6)

I finalment si substituïm (6) a (5), obtenim que:

(7)

és a dir, tenint en compte els canvis de notació, obtenim (1).
S’ha de fer notar a l'alumnat que en l’expressió (7), si prescindim de la constant de proporcionalitat, la força que actua sobre el planeta té unitats de . També que en la deducció anterior no s'ha utilitzat enlloc que la trajectòria sigui justament una el·lipse. Ara es tracta precisament de fer servir (7) per veure que, si es tracta d'una el·lipsi resulta!.

L'expressió (7) pot ser explicada a l'estudiantat de batxillerat sense gaires problemes.A partir d'aquest punt, suposarem que l'estudiantat coneix aquesta expressió.El procediment general de dibuixar una el·lipse i dur a terme les mesures corresponents es pot fer amb programari lliure. Un bon programa és:

GeoGebra - Dynamic Mathematics for Schools Markus Hohenwarter, 2001-2007 http://www.geogebra.org

De tota manera, amb precissió suficient es pot fer el mateix dibuixant (no virtualment) una el·lipse força gran. A la fitxa de l'estudiantat no suposarem necessariament l'existència de cap programa.

Un cop tenim les mesures, i (per a una col·lecció de puntsH_i ) podem calcular ( en unitats ) i fer la gràfica d'aquesta quantitat enfront de . Finalment, cal ajustar aquesta gràfica a una corba del tipus , on caldrà trobar els paràmetres A i B. Això es pot fer també amb el programari lliure:

RJS Graph Robert Jackson Software. http://www.rjsweb.fsnet.co.uk/graph El podeu descarregar també aquí

També podem fer servir el programa no gratuit:

Rt-Plot Horst Reichert. http://www.rt-science.de/rt-plot.html

És cert que no hi ha una alternativa manual raonable per fer l'ajust.

A la fitxa de l'estudiantat es detallen aquests procediments amb més profunditat.

 

Fitxa de l'estudiantat

Objectiu

Mesurar els paràmetres , i en diferents punts d’una el·lipse, una paràbola o una hipèrbola i aplicar la fórmula per trobar la llei de la força a la qual està sotmès un cos que es mou segons aquest tipus de trajectòries.

1) Amb el programa GeoGebra: dibuixem una el·lipse de, per exemple, a=6 unitats de semieix major i b=4 unitats de semieix menor, amb el mètode dels 5 punts. 1') Sense el programa: dibuixem una el·lipse sobre una cartolina prou gran utilitzant la condició: la suma de les distàncies d'un punt qualsevol de la el·lipse als focus es manté constant. Escollim els focus G i F convenienment. 2) Amb el programa GeoGebra: cal determinar els focus G i Fde l’el·lipse; la distància del centre de l’el·lipse als focus és: 2') Sense el programa: ja tenim els focus determinats per construcció ( en el pas 1' hem escollit uns focus)	Fig. 4
3) Decidim en quin dels focus situem el Sol, en el nostre cas G (vegeu la figura 3). Assenyalem un punt H a l’el·lipse	Fig. 5
4) Dibuixem la tangent a l’el·lipse que passa pel punt H.	Fig. 6
5) Assenyalem un altre punt I a l’el·lipse que sigui proper a H i dibuixem la recta que passa per G i H.	Fig. 7
6) La recta que passa per G i H talla la recta tangent a l’el·lipse que passa per H en el punt J. 7) Dibuixem la perpendicular a que passa per I i que talla a en el punt K.	Fig. 8
8) Ara, mesurem del les distàncies , , per avaluar la força mitjançant l’expressió:	Fig. 9
9) Repetim els passos de 4 a 8 per diferents punts Hi de l’el·lipse.	Fig. 10
10) Utilitzem el programari adequat per representar la força obtinguda F en funció de la distància 11) Utilitzem el programari adequat per ajustar aquesta gràfica a una corba del tipus , en que caldrà trobar-hi els paràmetres A i B. 12) Opcionalment, es pot repetir el procediment per a trajectòries parabòliques o hiperbòliques.	Fig. 11

Solucions

El·lipse

A la taula 1 es recullen els valors de , , (mesurats amb el programa GeoGebra) en una el·lipse d'exemple. Les unitats (u) són convencionals.

(u)	(u)	=r (u)	F (u-3)
0,291	1,220	10,467	0,00178
0,281	1,203	10,359	0,00181
0,277	1,179	9,928	0,00202
0,275	1,174	9,719	0,00211
0,259	1,153	9,010	0,00240
0,281	1,164	8,248	0,00305
0,288	1,161	7,495	0,00380
0,268	1,139	6,740	0,00445
0,274	1,135	5,996	0,00592
0,261	1,117	5,254	0,00758
0,260	1,104	4,468	0,01069
Taula 1: Relació entre força i distància al focus de l’el·lipse

Si representem gràficament la força en funció de la distància amb un programari científicogràfic i utilitzem l’opció que permet ajustar els punts experimentals a la millor corba, obtenim una llei de dependència entre força i distància proporcional a l’invers de la distància al quadrat amb una molt bona aproximació (vegeu la figura 12):

Paràbola

Si repetim el procediment per una paràbola (figura 13), també obtenim el mateix tipus de llei . .

A la taula 2 es recullen els valors de , , (mesurats amb el programa GeoGebra) en una paràbola d'exemple. Les unitats (u) són convencionals.

(u)	(u)	=r (u)	F (u-3)
0,471	2,971	22,033	0,00011
0,456	2,940	19,687	0,00013
0,445	2,933	17,994	0,00016
0,428	2,905	15,879	0,00020
0,433	2,885	13,918	0,00027
0,420	2,847	12,199	0,00035
0,443	2,823	10,017	0,00055
0,447	2,779	8,023	0,00090
0,454	2,750	6,821	0,00129
0,459	2,765	5,732	0,00183
0,455	2,741	5,204	0,00224
Taula 2: Relació entre força i distància al focus en una paràbola

Fig. 14: Llei de força versus distància obtinguda amb una paràbola.

Consideracions finals

Es pot proposar als alumnes fer diferents modificacions a l’experiència, com per exemple canviar els paràmetres de l’el·lipse i estudiar si això comporta modificar les conclusions finals.

Tanmateix es pot estudiar si en la mesura que més ens aproximem a la condició , millora l’aproximació a una llei de proporcionalitat a l’invers del quadrat de la distància.

Bibliografia

[1] Prentis, J, Bryan, F., Hesse, C., Mazzino, L. (2007). "Elliptical Orbit ==> 1/ r² Force". The physics teacher. Vol 45, pp 20-25.

[2] Goodstein, D., Goodstein, J. (1999). "La conferència perdida de Feynman. El movimiento de los planetas alrededor del Sol". Tusquets editores, Barcelona.

[3] Caamaño, A., Cortel A., Lozano, M.T., Pueyo L. (2004). "Física 2". Editorial Teide, Barcelona.

[4] Caturla, E. i Vidal, F. (1997). "Física 2". Editorial Castellnou, Barcelona.

[5] Marti, J., Ruiz, E., Fraile, J.M. "Física i Química. Crèdit comú 8". Grupo Santillana, Barcelona.

Sumari

7/9

Inici	Com podeu col·laborar?	Subscripció
ISSN: 1988-7930    Adreça a la xarxa: www.RRFisica.cat    Adreça electrònica: redaccio@rrfisica.cat  difusio@rrfisica.cat Comitè de redacció : Josep Ametlla, Octavi Casellas, Xavier Jaén, Gemma Montanyà, Cristina Periago, Octavi Plana, Jaume Pont i Ramon Sala. Treballem conjuntament : Societat Catalana de Física, Associació de Professores i Professors de Física i Química de Catalunya,XTEC, Universitat Politècnica de Catalunya, Universitat de Barcelona
Programació web: Xavier Jaén i Daniel Zaragoza. Correcció lingüística: Serveis Linguïstics de la Universitat Politècnica de Catalunya.		Aquesta obra està subjecta a una Llicència de Creative Commons
Recursos de Física col·labora amb la baldufa i també amb ciències Revista del Professorat de Ciències de Primària i Secundària (Edita: CRECIM-UAB)